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5函数与函数方程
5函数与函数方程
一、例题选讲
•例例 11 已知函数f (x ) 的定义域为R ，对于任意实数m,n ，都有
例例 11
1 1
f (m +n ) = f (m ) + f (n ) − 1 ， 且 f (− ) = 0 ， 当 x − 时 ，
2 2
f (x ) 0 。求证：f (x )是单调递增函数。
•分析分析：设： x x ，因为x = x + x − x ，
分析分析：： 2 1 2 1 2 1
•所以f (x ) − f (x ) = f (x +x −x ) − f (x )
2 1 1 2 1 1
= f (x ) + f (x −x ) − 1− f (x )
1 2 1 1
1
= f (x 2 −x 1 ) − 1+ f (− )
2
1
= f (x 2 −x 1 − ) 0 。
2
•例例 22：：设 定义在 上且对任意的 有 。
例例 22：： f (x ) R x f (x ) = f (x + 1) −f (x + 2)
求证：f (x )是周期函数。
•分析分析：因为： f (x ) = f (x + 1) −f (x + 2) ，
分析分析：：
•则f (x + 1) = f (x + 2) −f (x + 3) ，
•易知，f (x ) = −f (x + 3) 。
•例例 33：：函数 满足 ， ， ，
例例 33：： y = f (x ) f (a +b ) = f (a )f (b ) a,b ∈Q f (4) = 16
m
m ，n是正整数，且(m,n) = 1，n ≠ 0 ，求f ( ) 的值。
n
•分析分析：：f (0) = 1 ，f (1) = 2 ，y = f (x ) 非负函数，
分析分析：：
1
n n − n
•f (−a ) = ，f (n ) = f
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