5_2换元积分法.ppt

解: 原式 例5. 求 例6(5.2.19). 求 解: * 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 换元积分法 第五章 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 可导, 则有 一、第一类换元法 定理1. 则有换元 公式 (也称配元法 即 , 凑微分法) 例1. 求 解: 令 则 故 原式 = 注: 当 时 注意换回原变量 凑x的系数 例2. 求 解: 令 则 想到公式 凑x的系数 例3. 求 想到 解: (直接配元) 凑x的系数 例4. 求 解: ∴ 原式 = 例5. 求 解: 类似 常用的几种配元形式: 万能凑幂法 例6 求 . 解 万能凑幂法 例7. 求 解: 原式 = 例8. 求 解: 原式 = 例9. 求 解: 原式 = 例10. 求 解: 原式 = 例11 求 解 令 ，则 .由公式有 例12 求 解 例13 . 求 解: 例14. 求 解 解法 2 同样可证 或 例15. 求 解法1 解法2 两法结果一样 例16. 求 解: ∴原式 = 小结 常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 万能凑幂法 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同? 二、第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 2 第二换元积分法 定理2 （第二换元积分法）设 及 均连续， 且 又 存在原函数F(t),则 运用第二换元积分法的关键是变量代换 存 在反函数 要求变量代换函数是单调可导函数 例1 求 解 为去掉被积函数中的根式，令 则有 ，于是 例2(5.2.13). 求 解: 令 则 ∴ 原式 例3[5.2.19的公式(8)]. 求 解: 令 则 ∴ 原式 例4(5.2.15). 求 解: 令 则 ∴ 原式 令 于是 小结: 1. 第二类换元法常见类型: 令 令 或 令 令 2. 常用基本积分公式的补充 目录 上页 下页 返回 结束 *