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* * * * * 第六章 第五节 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导方法 本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 . 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 (隐函数求导公式) ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ② ③ 满足条件 导数 例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解: 令 连续 , 由 定理1 可知, ① 导的隐函数 则 ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 并求 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 令 x = 0 , 注意此时 导数的另一求法 — 利用复合函数求导 定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 例2. 设 解法2 利用复合函数求导 再对 x 求导 解法1 利用公式 例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 解法1 利用偏导数公式. 确定的隐函数, 则 已知方程 故 对方程两边求微分: 解法2 微分法. 定理3. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 ③ 的单值连续函数 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数； 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 定理4. 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 ③ 的单值连续函数 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 导数； 例4. 设 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 求 练习: 求 答案: 由题设 故有 例5.设函数 在点(u,v) 的某一 1) 证明函数组 ( x, y) 的某一邻域内 2) 求 解: 1) 令 对 x , y 的偏导数. 在与点 (u, v) 对应的点 邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 ①式两边对 x 求导, 得 则有 由定理 4 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数. ① ② 从方程组②解得 同理, ①式两边对 y 求导, 可得 例5的应用: 计算极坐标变换 的反变换的导数 . 同样有 所以 由于 内容小结 1. 隐函数( 组) 存在定理 2. 隐函数 ( 组) 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 思考与练习 设 求 提示: 解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. 由d y, d z 的系数即可得 备用题 分别由下列两式确定 : 又函数 有连续的一阶偏导数 , 1. 设 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得 (2001考研) 解得 因此 2. 设 是由方程 和 所确定的函数 , 求 解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得 (99考研) 解法2 微分法. 对各方程两边分别求微分: 化简得 消去 可得 练 习 题 练习题答案 * * * * *