7-习题课 _6026_1628_20110302094828.ppt

导数与微分 上每一点处 线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在点O处 有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质 点的引力. 例9 设星形线 解 建立坐标系. t a y t a x 3 3 sin , cos = = a cos d d . = F F x 故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力为 ; sin , cos 3 3 t a y t a x = = 例10 证 分析 由于 是t的连续函数, 该函数 只要证明 有零点即可. 辅助函数 连续, 又 零点定理 使得 故 即 ò - - b t x t f x f d )] ( ) ( [ 3 测 验 题 测验题答案 * 第七章 定积分的应用 习 题 课 定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 直角坐标情形 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 参数方程所表示的函数 极坐标情形 (2) 体积 x y o 平行截面面积为已知的立体的体积 (3) 平面曲线的弧长 弧长 A．曲线弧为 弧长 B．曲线弧为 C．曲线弧为 弧长 (4) 变力所作的功 (5) 水压力 (6) 引力 * 例1 解 画草图, 求两曲线交点的坐标以便 解方程组: 交点 面积微元 法一 选 为积分变量, 确定积分限, 二、典型例题 * 法二 选 y为积分变量, 面积微元 法三 将图形看成: [0, 3]上方的三角形减去在[2, 3] 上方的曲边梯形, 再加上[0, 2]下方的曲边梯形: * 解 之间图形面积. 对称性 所求面积A为在第一象限中 由直线 x轴 及椭圆 所围图形面积的 8倍. 将椭圆 化为极坐标方程. 将 代入椭圆 得 例2 * * 解 求由抛物线 与过焦点的弦所围成的图形 设 记 面积的最小值. 焦点 焦点 (变)弦 (1) (2) 求交点 * (3) 设 因为S(k)单减 所以 求由抛物线 与过焦点的弦所围成的 图形面积的最小值. 例3 过坐标原点作曲线 y = ln x的切线, 2003年考研数学(一)10分 该切线与 曲线y = ln x 及x轴围成平面图形D. (1) 求D的面积 A; (2) 求D的绕直线 x=e旋转一周所得旋转体的体积 V. 解 (1) 设切点的横坐标为 则曲线 处的切线方程是 由该切线过原点知 从而 所以该切线的方程为 过坐标原点作曲线 y = ln x的切线, 2003年考研数学(一)10分 该切线与 曲线y = ln x 及x轴围成平面图形D. (1) 求D的面积 A; (2) 求D的绕直线 x=e旋转一周所得旋转体的体积V. 平面图形D的面积 (2)切线 与x轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线x=e旋转所得旋转所得的 圆锥体积为 过坐标原点作曲线 y = ln x的切线, 2003年考研数学(一)10分 该切线与 曲线y = ln x 及x轴围成平面图形D. (1) 求D的面积 A; (2) 求D的绕直线 x=e旋转一周所得旋转体的体积V. 曲线 与x轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转 所得的旋转体体积为 因此所求旋转体的体积为 * 解 取坐标系如图. 设有一截锥体, 其高为h, 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为2a 、 2b和2A 、 2B, 求这截锥体 的体积. 垂直于x轴的截面为椭圆 截面(椭圆)面积 例4 * 立体体积 截面(椭圆)面积 设有一截锥体, 其高为h, 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴长分别为2a 、 2b和2A 、 2B, 求这截锥 体的体积. * 解 取坐标如图所示. 圆的方程为: o x y R ? 和下半圆下的曲边梯形 两个旋转体的体积之差. 例5 所求圆环体可看成是 上半圆下的 曲边梯形 绕x轴旋转一周. 求半径为r的圆绕同平面内圆外一条直线旋转成 的圆环体的体积. 设圆心到直线的距离为R * 对称性 四分之一圆面积 * 解 所求弧长为 例6 悬链线方程 计算介于 之间一段弧长度. 例7 解 如图所示建立坐标系. 于是对半圆上任一点,有 故所求速度为 故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 例8 解 如图建立坐标系, 此闸门一侧受到静水压力为 * *