7_5隐函数求导法.pdf

第七章 第五节 隐函数的求导方法 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 1 本节讨论: 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数. 2 例如, 方程 x + y +C 0 当C 0 时, 能确定隐函数; 当C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题. 2 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数F (x ,y )在点P (x0 ,y 0 )的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ②F (x0 , y 0 ) 0 ; ③Fy (x0 , y 0 ) ≠0 则方程F (x ,y ) 0 在点x0 的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数y = f (x) , 满足条件y 0 f (x0 ) , 并有连续 导数 dy Fx − ( 隐函数求导公式) dx F y 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 3 设y f (x) 为方程F (x ,y ) 0 所确定的隐函数, 则 F (x ,f (x)) ≡0 两边对x 求导 ∂F ∂F dy + ≡0 ∂x ∂y dx 在(x0 , y 0 ) 的某邻域内F ≠0 y dy Fx − dx F y 4 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有 F x − F 二阶导数: