7-18全-数学VIP-李建泉 (已校对).docx

设的九点圆为，外心、中心分别为O、H，设为的内接三角形，且XY、YZ的中点L、M均在，要让是的九点圆。的半径为，只要证的共点圆圆心为N。，与以X为位似中心，作，N为XN’的中点，的半径为R若与关于YZ对称 若与重合。则X=H与为锐角三角形相矛盾 若，与以O为位似中心，设是对应点，则共线，设的角平分线为l，关于l的对称点为，直线关于l对称 共圆OP、OP’为的等角线设、的外接圆分别为，设于D，于E，则D、E在上，设BD、CE交于点H，则H为的垂心，且B、C、D、E及A、D、H、E均四点共圆，设AH的中点为，则在上。与相似，且的外心，是对应圆。设AY与交于点Z，设AD、AE、DE的中点分别为，=共圆。同理，共圆。，Z在的九点圆上，是对应点，AX、AZ为的等角线的位似中心，,又R是与的位似中心，且，作，，设的内心分别为，，则，是四边形，的中点为T，设与分别切于点，与分别切于点，O与DC、CQ分别切于点E、F，设，，，根轴上，根轴上，，共线，，对于以B为位似中心。M、K为对应点：。同理：，牛顿定理 ①则AC、BD、EF的中点L、M、N共线——牛顿线 ②则L、M、I共线③则AC、BD、EG、FH交于一点设BC、AD、EI的中点分别为X、Y、K，则X、Y、K三点共线，设AC、BD的中点分别为V、U，则，是四边形，又，要让，只要证，对于四边AEDF，由牛顿定律设EF的中点为Z，则X、Y、Z三点共线，，FI是的角平分线，是的角平分线，是菱形，同理，只要证，只要证，上，只要证设AB、AC、AD的中心分别为M、N、P，则M、N、P共线，且M、N分别为的圆心。，，，，，设I为的内心，，，同理，M、K、L、P共圆 同理，，分角线定理，张角定理斯特瓦尔特设H的面积的最值的最值作矩形YEZF且，x为的中点时，最大，此时YE=0，最大，若C=Z或B=Y时，最小，此时，最小。 施瓦兹问题，锐角三角形的内接三角形周长最小的半周长 的内切圆半径 因为： 所以：共线在圆O上，因为： M是QD的中点Q是角A内的重心OP为圆I的直径为矩形， 是内心，所以平分∠A若 可以推出：等号成立 同理 共圆是平行四边形， 设与交于点 只要证明 在关于圆的极线上关于圆I的极线为AT 为i圆直线上的点，即 配极原则：若P为A关于圆I的极线上一点，则A在P关于圆I在极线上AD为直径，S为圆心 , 因为 同理： 是AH的中点, , 均共圆E在以C为圆心，为半径的圆上A,D关于OQ对称又 又A,C,P,Q共圆在的外接圆上又 是正方形 设的重心为H与分别交于点X,YA,E,H,F共圆，同理B,D,H,F共圆又D,E,X,Y共圆设 则D、B、E、K共圆又 又 D,L,M,F共圆 D,B,E,M共圆同一法：设的外接圆与BC交于点 共圆