8.构造法及其应用(沈条英).pdf

第 28卷 第 l0期 绍 兴 文 理 学 院 学 报 Vo1．28No．1O 2008年 12月 J0URNALOFSHAOⅪ NG UNIVERSITY Dee．2OO8 构造法及其应用 沈条英 (上虞市百官中学 ，浙江 上虞 312300) 摘 要：构造法是解决数学问题的一种重要方法，更是培养学生创新思维的有效途径．通过举例说明其重要应用 关键词：构造法；存在性问题 ；数学模型；对应关系 中图分类号：G632 文献标识码 ：A 文章编号：1008—293x(2oo8)10—0041—03 在解题时，当对某些问题，如存在性问题、条件与结论相距较远的问题，直接推理不能顺利进行时，不 得不寻找某种 中介工具沟通条件和结论 的联系 ，而这种 中介工具往往 隐含在题设条件之 中，需要我们去发 现、去解释、去构造 ．这种通过构造题 目本身所没有的解题中介工具去实现解题 的方法 ，就是构造法 ．构造 法没有通用的法则，本文通过实例说明其应用 ． 1 构造存在实例或反例 ，解决存在性问题 所谓存在性问题，是指结论 中含有 “存在”一词的问题，是讨论某种对象是否存在 ，或某一数学对象是 否具有某种性质的问题 ．存在性 问题 的解法有构造性和非构造性两种 ．构造性解法需要指出数学对象存在 的实例或提供怎样求法 ，然后证 明它们满足题设条件 ，也就是 “构造 +证明”．其 中反证法起着重要作用 ．… 例1 证明：一个奇数 c为合数的充要条件是存在 自然数n ÷一1，使(2a一1)+8c为平方数． 证 充分性略．下证必要性 ，必要性是存在性问题 ，用构造法 ． 设 c为奇合数，则 c可分解为两个大于1的奇数之积，将较小的记为2k一1，较大的记为m，即c=(2k 一 1)m，k 2，m 2k一1． 令口=m—k+1，则8= 一k+1 —1 言一1， 且 (2a一1)+8c： (2m一2k+1)+8(2k一1)m ：[2m一(2k一1)]+8m(2k一1)= [2m+(2k一1)] 证毕． 这里为什么令 a=m一尼+1呢?通过演算 ，在逆推中找到一个使结论成立 的充分条件，是构造存在实 例常用的方法．就本例来说，假设存在自然数a ÷一1满足题目要求，即假设(2a一1)+8c=(2t+1)， 化简得 2c： (t+a)(t—a+1)，由题设 C为奇合数 ，可令 c= (2k一1)m，尼 2，m 2k一1，m为奇数 ， 于是有2m(2尼一1)=(t+口)(t一口+1)．使这个式子成立的一个充分条件是{：二a。l2m：’2后一1§a= m —k+1．此即存在实例 ． 一 些存在实例往往具有简单、和谐、对称、奇异等数学美的特征．追求数学美，是发现存在实例的重要 手段 ． 例2 对于任何 自然数 n，在整点平面上是否存在一个 圆，使得它的内部恰好有 n个整数点?(1987年 全国高中数学联赛) 解 讨论型的存在问题 ，可假设所言圆存在 ，这 只要找 出一点，使它到平面上 的每个整点的距离都不 * 收稿 日期 ：2008—11—03 作者简介 ：沈条英 (1974一)，女，浙江上虞人 ，主要从事中学教育研究 42 绍兴文理学院学报 (自然科学) 第 28卷 相同．点Pl ，÷)就是合乎条件的点．用反证法证明这个猜测正确． 若不然，平面上有两个不同的整点 (。，b)、N(c，d)它们到 P点的距离相等，即 (口一)+(6一号)=(c一)+(d一) 化简整理后得 fc+d一口一6+詈(6一d)=o， L2(口 一 c)：0． 由此推得 0= c，b= d，这与反设矛盾．这样把平面各整点到 P点的距离由近到远依次排列成Pl，P2， … P ，…，选择 r，使 P|P rP +l，以P为圆心，r为半径的圆即为所求． 本例涉及整点