8.6 曲面与空间曲线 qumianjikognjianquxian.ppt

《应用数学》精品课程——电子教案 §6 曲面与空间曲线 例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得 一.曲面及其方程： 1.曲面方程的一般概念： 而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0， 整理得 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy的方程：z=0 ②过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c ③坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程： ①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。 球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。 ②球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。 此时有以下结论： 分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。 若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程： 圆柱面； 椭圆柱面； 双曲柱面； 抛物柱面。 以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。 几种常见柱面：x+y=a 平面； 4.旋转曲面： 一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直 线l旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线， l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此 时有以下结论： 设yOz平面上有一已知曲线c 其方程为f(y,z)=0，将c绕 z轴旋转一周，所得到的以z轴 为轴的放置曲面的方程为： 同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为： 同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面 绕y轴为 以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得 曲面 绕z 轴得曲面 例3 求顶点在原点，旋转轴为z轴， 半顶角为a的圆锥面方程。 解：将yOz面上的直线z=yctg ? 绕z轴旋转一周即得圆锥曲面 整理后得： 其中a=ctg? 二.空间曲线及其方程： 1.空间曲线的一般方程： 空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为 称此方程组为曲线c的一般方程。 例4：方程组 表示怎样的曲线？ 解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。 表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上 半径为1的上半球面 例 方程 表示怎样曲线 解： 表示中心在原点， 半径为1的圆柱面 它们的交线是xoy面上的一个圆， 其圆心在 ，半径为 2.空间曲线的参数方程： 方程组 称为空间中曲线的参数方程。 设空间曲线方程 如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组 并有它解出y=（x），Z=Z（x）得 例 如果空间一点M在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度 绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的正方向 移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程 螺旋线有一个重要性质，当 从 变到 时，Z由 变到 这说明当