9-5-方向导数和梯度.pdf

§9.5 方向导数与梯度 一块长方形的金属板一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是，四个顶点的坐标是 一块长方形的金属板一块长方形的金属板，，四个顶点的坐标是四个顶点的坐标是 (1,1)，，(5,1)，，(1,3)，，(5,3) ．在坐标原点处有．在坐标原点处有 ，， ，， ，， ．．在坐标原点处有在坐标原点处有 热源热源，它使金属板受热，它使金属板受热．假定板上任意一点．假定板上任意一点 热源热源，，它使金属板受热它使金属板受热．．假定板上任意一点假定板上任意一点 处的温度与该点到原点的距离成反比处的温度与该点到原点的距离成反比．在．在 处的温度与该点到原点的距离成反比处的温度与该点到原点的距离成反比．．在在 (3,2)处有一个蚂蚁处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方，问这只蚂蚁应沿什么方 处有一个蚂蚁处有一个蚂蚁，，问这只蚂蚁应沿什么方问这只蚂蚁应沿什么方 向爬行才能最快到达较凉快的地点向爬行才能最快到达较凉快的地点？？ 向爬行才能最快到达较凉快的地点向爬行才能最快到达较凉快的地点？？ 把温度看作二元函数把温度看作二元函数，寻找函数值下降最快，寻找函数值下降最快 把温度看作二元函数把温度看作二元函数，，寻找函数值下降最快寻找函数值下降最快 的方向的方向。。 的方向的方向。。 方向导数的定义 方向导数讨论函数在一点沿着某个方向的变化率方向导数讨论函数在一点沿着某个方向的变化率 。。 方向导数讨论函数在一点沿着某个方向的变化率方向导数讨论函数在一点沿着某个方向的变化率 。。 z = f (x, y)在在P(x, y) 的某个邻域的某个邻域S(P,δ ) 内有定义内有定义，从，从 引引 在在 的某个邻域的某个邻域 内有定义内有定义，，从从P引引 l x l ′ 射线射线 ，从，从 轴正向到轴正向到 的转动角的转动角为为ϕ ，，P (x+ ∆x, y + ∆y)在在 射线射线 ，，从从 轴正向到轴正向到 的的转动角转动角为为 ，， 在在 l上。上 。 上上 。。 ′ P (x + ∆x, y + ∆y) y ρ = (∆x)2 + (∆y)2 l ∆y = ρ sinϕ ϕ P(x, y) ∆x = ρ cosϕ x o f (P)在在P点沿着射线点沿着射线 l 的方向导数的方向导数定义为定义为 在在 点沿着射线点沿着射线 的方向导数的方向导数定义为定义为 ′ ∂f f (P ) − f (P) = lim P→P 0 ′ ∂l P l | PP | (如果极限存在如果极限存在)