9-1第一类曲线积分.ppt

曲线积分与曲面积分 问题的提出 二、对弧长曲线积分的计算 三、几何与物理意义 例5. 计算半径为 R ,中心角为 例6. 计算 例7. 计算 例8. 计算 思考: 例8中? 改为 小结 思考与练习 2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 * 第九章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的计算 三、几何与物理意义 第一节 第一类曲线积分 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 求和 取极限 近似值 精确值 一、对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）的概念 1. 定义 被积函数 积分曲线 积分和式 曲线形构件的质量 弧长元素（弧微分） 2.存在条件： 3.推广 注意： 4.性质 ( l 为曲线弧 L的长度) 积分路径可加性 定理 证: 根据定义 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 积分中值定理 因此 注意: 因此积分限必须满足 2. 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 特殊情形 (3) 如果方程为极坐标形式: 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 例1: 解: 例2: 解: 例3: 解: 例4. 注：可推广至空间曲线弧 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度? = 1). 解: 建立坐标系如图, 则 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 其中?为球面 解: 化为参数方程 则 其中?为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知 若不用轮换对称性直接计算，关键是将曲线方程化为参数方程，繁琐 计算 解: 令 , 则 , 如何 1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用 思考题 对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？ 思考题解答 的符号永远为正，它表示弧段的长度. 1. 已知椭圆 周长为a , 求 提示: 原式 = 利用对称性 分析: * *