9-4定积分的概念.ppt

返回 后页 前页 §4 定积分的性质 一、定积分的性质 本节将讨论定积分的性质, 包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理, 这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具. 二、积分中值定理 返回 证 一、定积分的性质 从而 性质1 k 为常数, 则 k f 若 f 在 [ a,b ] 上可积， 因此 性质2 可积, 且 证 从而 因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且 性质3 证 并而成的新分割 ), 则 于是 因此 f g 在 [ a, b] 上可积. 性质4 f 在[a, b]上可积的充要条件是: 证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则 (必要性) 因此, f 在 [a, b] 上可积. 在T上加入分点 c 得到新的分割 由§3习题第1题, 知道 因此，f 在 [a, c] 与 [c, b]上都可积. 若 f 在 [a, b] 上可积,由必要性证明,若分割 T 使点 性质5 证 注 因此 推论 证 若 f 在 [a, b] 上可积,则 | f |在 [a, b] 上也 性质6 证 即 可积,且 因此证得 注1 一般不能推得 上连续，则可得到严格不等式 例1 证 由连续函数的局部保号性质, 由此推得 即 此结论, 由本章总练习题10证明. 注3 注2 二、积分中值定理 定理9.7 ( 积分第一中值定理 ) 证 由于 f 在 [a, b] 上连续，因此存在最大值 M 和 最小值 m. 由于