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第八节 对自变量的增量 一、 函数连续性的定义 对自变量的增量 对自变量的增量 二、 函数的间断点 间断点分类: 间断点分类: 例如: 例如: 思考与练习 第一章 第一章 函数的连续性与间断点 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 有函数的增量 函数 在点 连续即: 一、 函数连续性的定义 可见 , 函数 在点 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例如, 在 上连续 . 又如, 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 一、 函数连续性的定义 有理分式函数 有函数的增量 左连续 右连续 函数 在点 连续有下列等价命题: 一、 函数连续性的定义 有函数的增量 函数 在点 连续即: 一、 函数连续性的定义 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一, 函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 二、 函数的间断点 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡, 称 若其中有一个为 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 二、 函数的间断点 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 二、 函数的间断点 为可去间断点 . 二、 函数的间断点 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 二、 函数的间断点 例如: 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 三、小结 * *