Chap2Sec3 线性方程组的迭代解法n.ppt

杨东武 ydw_1978@126.com 线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性 线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性 求解线性方程组的两种基本方法 线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性 线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性 线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性 线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性 * 机电工程学院 上节课内容回顾 1. 解线性方程组的平方根法对系数矩阵A有什么要求？ 2. 解线性方程组的改进的平方根法对系数矩阵A有什么要求？ 3.用追赶法解三对角方程组Ax=b时，对系数矩阵A有哪些要求 ？ 直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，即使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足. 迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。 思路 将 等价改写为 形式，建立迭代 　 。从初值 出发，得到序列 。 研究 内容： ? 如何建立迭代格式？　 ? 收敛速度？ ? 向量序列的收敛条件？ ? 误差估计？ 雅克比迭代矩阵 高斯-塞德尔迭代 雅克比迭代 A = L U D 高斯-塞德尔迭代矩阵 方程式右边所有元素均已知,因此 的值很容易通过编程求解。 编程求乘积之和时必须跳过系数矩阵的主对角线元素 或者 两个一维数组对应元素的乘积之和，程序设计较为简单 或者 若按顺序求解时，每个方程式右边所有元素均已知,因此 的值很容易通过编程求解。 编程技巧： 与 共用同一个数组。 编程求乘积之和时必须跳过系数矩阵的主对角线元素 或者 两个一维数组对应元素的乘积之和，程序设计较为简单 编程技巧： 与 使用同一数组 或者 ?称作松弛因子。通过选取合适的 ? 来加速收敛，这就是松弛法。 0 ? 1 低松弛法 1? 2 (逐次)超松弛法 称为逐次超松弛迭代法（简称SOR法） 写成分量形式，有 或者 定理2.5 一般迭代法 对任意的初始向量 和 都收敛的充要条件是迭代矩阵 的谱半径小于1，即 。 以上判定条件的缺点: 对于大型矩阵而言,谱半径的求取比较麻烦。 定义2.1 设 ,如果矩阵A的元素满足条件 即矩阵A的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行的其它元素的绝对值之和，则称A为严格对角占优矩阵。 定理2.6 如果 为严格对角占优矩阵，则A为非奇异矩阵。 定理2.7 若线性方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解此方程组的雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都收敛。 定理2.8 若线性方程组Ax=b的系数矩阵A为对称正定矩阵，则解此方程组的高斯-塞德尔迭代法收敛。 定理2.9 若线性方程组Ax=b的系数矩阵A为对称正定矩阵，且0?2，则解此方程组的超松弛迭代法(SOR法) 收敛。 定理2.10 若解线性方程组Ax=b 的SOR法收敛，则0?2。 有关线性方程组迭代解法的三点说明： （1）迭代终止判定： （2）由于受到机器字长的限制，舍入误差不可避免，因此，迭代解法的收敛精度要求一般不宜小于或接近机器精度。 （3）当给定的方程组不满足迭代法的收敛条件时，适当调整方程组中方程的次序或作一定的线性组合，就可能得到满足迭代法收敛条件的同解方程组。