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第五章 极限定理 第一节 大数定律 第二节 中心极限定理 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律 第一节 大数定律 一、随机变量序列依概率收敛于常数 二、三个常见的大数定律 a 是一个常数，若对于任给的正数?0, 总成立 一、随机变量序列依概率收敛于常数 1.定义（P129） 设 是一个随机变量序列， 则称随机变量序列 依概率收敛于 a， 记为 2.性质 1.设 ，g（x）是连续 函数，则 2.设 g（x , y）是二元连续函数，则 设n重贝努里试验中事件A发生的次数为μn，A在每次试验中发生的概率为 p ，则对任给的ε0，总成立 定理1（贝努利大数定律）P128 即： 二、三个常见的大数定律 贝努里大数定律的意义 在概率的统计定义中, 事件A 发生的频率 “ 稳定于” 事件A 在一次试验中发生的概率是指：频率 与 p 有较大偏差 大时可以用频率近似代替 p . 是小概率事件, 因而在 n 足够 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法. 定理2（契比雪夫大数定律）P130 设随机变量序列X1,X2, …相互独立，它们都具有数学期望：E(Xi)=μi，并且都具有被同一常数C所限制的方差：D(Xi)= C,i=1,2, …,则对任给的ε0，总成立 即 接近于其数学期望的算术平均的概率接近于1. 即当n充分大时， 差不多不再是随机的了，取值 定理2的意义 定理表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共 与其数学期望 小的概率接近于1. 同的上界，则 偏差很 定理2（契比雪夫大数定律的特殊情形） 设随机变量序列X1,X2, …相互独立，并且具有相同的数学期望和方差，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2,i=1,2, …,则对任给的ε0，总成立 即 定理2的意义 具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.当 n 足够大时, 实验结果的算术平均几乎是一常数. 因此，在实际应用中，当试验次数足够大时,可用独立重复试验结果的算术平均数来估计随机变量的数学期望. 设随机变量序列X1,X2, …相互独立，服从同一分布，具有相同的数学期 望E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对于任给正数ε 0 ，总成立 定理3（辛钦大数定律）P130 即 定理3的意义 具有相同数学期望的独立同分布随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.当 n 足够大时, 实验结果的算术平均几乎是一常数. 因此，在实际应用中，当试验次数足够大时,可用独立重复试验结果的算术平均数来估计随机变量的数学期望. 推论 设随机变量序列X1,X2, …相互独立，服从同一分布，且具有相同的k 阶矩 则对任给正数ε0，总成立 即 这一节我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一： 它是随机现象统计规律的具体表现.在理论和实际中都有广泛的应用. 平均结果的稳定性 大数定律是概率与统计的桥梁