D10_1对弧长的曲线积分.ppt

第十章 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对弧长的曲线积分 第十章 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 为计算此构件的质量, 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 ? 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 ?上的一个有界函数, 都存在, ?上对弧长的曲线积分, 记作 若通过对 ? 的任意分割 局部的任意取点, 2.定义 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， ? 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 和对 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 如果 L 是闭曲线 , 则记为 则定义对弧长的曲线积 分为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 3. 性质 （k 为常数) ( ? 由 组成) ( l 为曲线弧 ? 的长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 且 上的连续函数, 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 因此积分限必须满足 (2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算曲线积分 其中?为螺旋 的一段弧. 解: 线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算 其中?为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 已知椭圆 周长为a , 求 提示: 原式 = 利用对称性 分析: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 定义 2. 性质 ( l 曲线弧 ? 的长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 ? 对光滑曲线弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设 C 是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界, 求 提示: 分段积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 2. 计算 其中?为球面 解: 化为参数方程 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P131 3 (3) , (4) , (5), (6) , (7) 第二节 目录 上页 下页 返回 结束