D1_1映射与函数1.ppt

第一章 第一节 一、 变量与函数 表示法： 半开区间 引例 定义2. 2. 逆映射与复合映射 (2) 复合映射 定义. 3、函数 三、 函数的几种特性 (3) 奇偶性 又如, (4) 周期性 3. 反函数与复合函数 (2) 复合函数 四、 初等函数 非初等函数举例: 例 求 内容小结 备用题 * 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数与极限 第一章 二、函数的运算 三、函数的几种特性 一、变量与函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数概念 四、初等函数 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 1. 集合定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . ( 或 ) . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x 所具有的特征 例: 整数集合 或 有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 开区间 闭区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无限区间 点的 ? 邻域 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 去心 ? 邻域 左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 映射的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 称为 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对映射 若 , 则称 f 为满射; 若 有 则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射 为单射, 则存在一新映射 使 习惯上 , 的逆映射记成 例如, 映射 其逆映射为 其中 称此映射 为 f 的逆映射 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 手电筒 D 引例. 复合映射 则当 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复 设有映射链 记作 合映射 , 时, 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形. 定义域 定义3. 设数集 则称映射 为定义在 D 上的函数 , 记为 f ( D ) 称为值域 函数图形: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量 因变量 (对应规则) (值域) (定义域) 例如, 反正弦主值 定义域 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. 定义域 值域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 且有区间 (1) 有界性 使 称 使 称 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性 为有界函数. 在 I 上有界. 使 若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界. 称 为有上界 称 为有下界 当 时, 称 为 I 上的 称 为 I 上的 单调增函数 ; 单调减函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且有 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 在 x = 0 有定义 , 为奇函数时, 则当 必有 例如, 偶函数 双曲余弦 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束 奇函数 双曲正弦 记 再如, 奇函数 双曲正切 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 则称 为周期函数 , 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 ? 周期