D1_8函数的连续性与间断点.ppt

* 函数与极限 第八节 函数的连续性 与间断点 函数的连续性(continuity) 函数的间断点 小结 (discontinuous point) 第一章 函数、极限与连续 间变化很小时,生物生长的也很少. 在函数关系上的反映就是函数的连续性. 在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,金属棒长变化也很小. 时 在高等数学中,主要的研究对象就是连续函数. 这种现象 从直观上不妨这样说, 连续函数的 特征就是它的图形是连续的, 也就是说,可以 一笔画成. 函数的连续性与间断点 1. 函数的增量 自变量 称差 为自变量在 的增量; 函数随着从 称差 为函数的 增量. 如图: 一、函数的连续性 函数的连续性与间断点 连续, 2. 连续的定义 定义1 设函数 f (x)在 内有定义, 若 则称函数f(x)在x0处 并称x0为函数f(x)的 连续点. 定义2 若 则称函数f(x)在x0处 连续. 把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值. 自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征. 采用了无穷小定义法 函数的连续性与间断点 连续性的二种定义形式不同, 这二种定义中都含有 但本质相同. f (x)在 内有定义; (1) (2) (3) 三个要素: 存在; 函数的连续性与间断点 例 证 都是连续的. 类似可证, 是连续的. 即 函数的连续性与间断点 3. 左、右连续 左连续(continuity from the 右连续(continuity from the left); right). 左连续 右连续 函数的连续性与间断点 定理1 此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性. 函数的连续性与间断点 例 解 右不连续. 所以 左连续, 函数的连续性与间断点 4. 连续函数(continous function)与连续区间 上的 或称函数在该区间上连续. 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间 在开区间 右连续 左端点 右端点 这时也称该区间为 continuous 左连续 连续函数, 连续区间. 内连续 函数的连续性与间断点 是一条无缝隙的连绵而不断的曲线. 连续函数的图形 例如, 多项式函数 内是连续的. 因此有理分式函数在其定义域内的每一点 有理分式函数 只要 都有 因此多项式函数在 都是连续的. 第六节中已证 函数的连续性与间断点 定义4 出现如下三种情形之一: 二、函数的间断点及其分类 无定义; 不存在; 间断点. 函数的连续性与间断点 设函数 f(x)在x0 的某去心邻域内有定义 间断点分为两类: 第二类间断点 第一类间断点 及 均存在, 及 中至少有一个不存在. 若 称 为可去间断点. 若 称 为跳跃间断点. 若其中有一个为振荡, 若其中有一个为 称 为无穷间断点. 称 为振荡间断点. 函数的连续性与间断点 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 无穷次振荡型 第二类间断点 函数的连续性与间断点 例 由于函数 无定义, 故 为f(x)的 间断点. 且 皆不存在. 第二类 第二类间断点: 至少有 且是无穷型间断点. 一个不存在. 函数的连续性与间断点 例 有定义, 不存在, 故 为f (x)的 间断点. 第二类 且是无穷次振荡型间断点. 之间来回无穷次振荡, 函数的连续性与间断点 例 有定义, 故 为f (x)的 间断点. 第一类 的第一类间断点. 则点x0为函数 f(x) 的 且是跳跃间断点. 跳跃型间断点. 及 均存在, 则点x0为 函数的连续性与间断点 函数的连续性与间断点 例 讨论函数 解 为函数的 间断点. 第一类 且是可去间断点(removable discontinuity). 处无定义, 可去间断点. 连续. 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 例如: 函数的连续性与间断点 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 函数的连续性与间断点 则可使x0变为连续点. 注 对可去间断点x0, 如果 于A, (这就是为什么将这种间断点称为 使之等 可去间断点的理由.) 补充 x0的函数值, 或改变 函数的连续性与间断点 *