D5_1n维1Euclid空间中的点集的初步知识.ppt

第五章 第一节 n维Euclid空间中 点集的初步知识 * 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数微分学及其应用 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 第五章 1.2 中的点列的极限 1.1 n维Euclid空间 1.3 中的开集与闭集 1.4 中的紧集与区域 1.1、 n维Euclid空间 1.1 n维Euclid空间 规定： 加法 数乘 成为一个n维实向量空间。 若定义内积 成为一个n维Euclid空间。 中的长度： 1.2 中的点列的极限 定义1.1 设 是 中的一个点列，其中 又设 是 中的 一固定点， 若当 时， 即 使得 则称点列 的极限存在， 且称 为它的极限，记作 这时也称点列 收敛于 定理1.1 则 点 设点列 都有 定理1.2 设 是 中的收敛点列，则 (1) 点列 的极限唯一； (2) 是有界点列， (3) 若 则 (4) 若 收敛于 ，则它的任一子列也收敛于 定理1.3 中的有界点列必有收敛子列. ( 中的点列 的收敛子列的极限也称为 的极限点） 设 是 中的点列，若 使得 则称 是 中的基本点列或Cauchy点列. 定理1.4 中点列 收敛于 中的点 是 中的Cauchy点列. 定义1.2 则称 为 设 是 中的一个点集， 若存在 中的点列 使得 的聚点. 的所有聚点构成的集合称为 的导集. 记作 集合 称为 的闭包. 若 但 则称 为 的孤立点. 若 则称 为闭集. 注： (1) 集合 的聚点一定属于 吗？ (2) 什么样的集合对极限运算封闭？ 1.3 中的开集与闭集 定义1.3 设 称点集 称 为以 为中心、 为半径的开球或 邻域， 为点 的去心 邻域. 注： 收敛于 可以描述为： 点列 使得 定理1.5 设 是 中的一个点集， 则 即 为 的聚点 证： 存在 中的点列 且 使得 即 的任意去心邻域包含 中的点. 当且仅当 于是由 取 且 于是 注： 若 则 为闭集。 单点集和有限集都是闭集。 定义1.4 设 的内点. 则称 是集 (1) 若存在 使 由 的所有内点构成的集合称为 的内部， 记作 (2) 若存在 使 则称 是集 定理1.5 设 是 中的一个点集， 则 即 为 的聚点 的任意去心邻域包含 中的点. 当且仅当 的外点. 由 的所有外点构成的集合称为 的外部， 记作 (3) 若对任何 也含有不是 中的点， 由 的 记作 中既含有 中的点， 则称 是集 的边界点. 所有边界点构成的集合称为 的边界， 注： 且三者不交。 对于 中的任一点集 必有 特别的，开球与它的边界之并称为闭球。 例1.2 定义1.5 设 ，若 即A中的点全是 A的内点，则称A为开集. 定理1.6 是开集 是闭集. 注： 中的开区间 中的闭区间 注：一个点集是不是“非开即闭？” 定理1.7 在n维Euclid空间 中,开集有下列性质： (1) 空集φ与空间 是开集； (2) 任意多个开集的并是开集； (3) 有限多个开集的交是开集. 利用对偶原理： (1) 空集φ与空间 是闭集； (2) 任意多个闭集的交是闭集； (3) 有限多个闭集的并是闭集. 1.4、 中的紧集与区域 设 是 中的一个点集， 若存在一个常数 使得对于所有的 都有 则称 是有界集。 否则称为无界集. 定义1.6 设 是 中的一个点集， 若 是有界 闭集，则称 为紧集。 定义1.7 设 是 中的一个点集， 若 中的任意 连通的开集称为区域. 两点 都能用完全属于 的有限个线段连接起来，则 称 是连通集. 区域与它的边 界的并称为闭区域. 设 是 中的一个点集， 若连接 中的任意两点的 线段都属于 ，即若 则称 是 中的凸集. 凸集都是连通的. 则 * * * *