Dirichlet和Abel判别法的等价性.pdf

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Dirichlet和Abel判别法的等价性

维普资讯 Y ,0 一 I 第 17卷第 6期 ● Voll7 No 6 , 吉安师专学报 (自然科学) 1996年 6月 Jouraal0IJi.帅 Tea:hers‘CoUege(NaturalS~it.n.ce) Dcc l996 Dirichlet和Abel判别法的等价性 龙小胖 贺晓斌 - — ~ ~ ~ 一 一 一 (吉安师专数学系 吉安 343009) 摘 要 本文证明了Difichlet和Abel判别法的等价性、从而完整地解决了这两个定理的充分性、 必要性爱它们之间与级效收敛的关系. 豁瑶玻欹 关键词等 充要条件 ; 舰 Dirichlet和 Abel判别法是级数、广义积分 以及含参变量积分中两个常用的判别法,但对 于这两个判别法之间的关系,一般很少讨论 .本文指出,这两个判别法虽在形式上不同.但在 本质上是等价的 .我们主要证明了以下定理 . 定理 1 对于数项级数 ∑n6,若级数 ∑6.数列ln }满足 Dirichlet判别法中两个条件, 则必存在 和d 使n :c.d,且级数 ∑d,数列1c}满足Abel判别法中的两个条件 . 证明 由条件 ∑6 的部分和有界,数列 { {单调趋于零,不妨设 “≥0(否则可考虑一n 及 一∑6). 令d=6 , =v厂 ,则有 6=c,d,且{ }单调趋于零,从而有界 .对于级数 ∑d ,仿照Dirichlet判别法的证 明,可知级数 ∑d 收敛.即级数 ∑d,数列 ic}满足 Abel判 别法中的两个条件 . 为了推出这两个判别法的等价性.下面还须证明 定理 2 数项级数 ∑ “收敛的必要条件是存在 。 6 使 :n6,且级数 ∑6,数列 {n }满足Dirichlet判别法中的两个条件 . 证明 由条件∑ 收敛,从而对e=r},存在自然数^,对任意自然数P有 l . +1+ . +2+ … + . + }寺, 对 ez ·存在 自然效 z 1,对任意自然数 p有 1 , ‘ 收端 日期 :1996—05一l5 维普资讯 第6期 龙小胖等 Y~fichlet和Abel判别法的等价性 9 一 般地,对 e= ,存在 自然数 一,对任意 自然数 有 l“+ + “ + + ·一 + “ +, l , . . 令 1, 1≤n≤ 2

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