Dirichlet空间上的复合算子.pdf

维普资讯 2001年4月 四川大学学报(自然科学版) Apr．20o1 第38卷第2期 JoumalofSichuanUniversity(NaturalSdenceEdition) Vol_38 No．2 文章编号：0490—6756(2001)02—0162—04 Dirichlet空间上的复合算子 王晓宏，曹广福 (四川大学数学学院，成都610064) 接耍：使用棱函数证明Diriehlet空间上的复合算子是Fredholm算子的充要条件，其符号为单位圆上的自 同构，同时对这类复合算子的谱进行了研究 关奠词。胁 d．Iet空间；复合算子；Fred~lm算子；紧算子 中圈分类号：O177 文献标识码：A 1 引言 ‘ 设 是单位圆D到自身的非常值解析映射，则定义复合算子 为： ，)=f。 ，其中f∈H(D)． 我们主要研究定义在Dirlchlet空间上的有界复合算子．Ditichlet：空间9定义为9：{f∈H(D)：II JD 12dA／Tr。。J，其中dA表示Lebesgue面积测度，相应的范数II川 ：I，(0)I+II厂12dA／丌．从几 何上看，f∈9当像，(D)有有限面积，且有几重算几次． Diriehlet空问是一簇Hilbert空间 ，口一1的特殊形式，我们称后者为加权Dirichlet空问，其中9o= tf∈H(D)：JI厂(z)12(1一I12)oda(z)o。J．不难看出，若，=∑ 0n，则 — ! f： n ∈甄铮∑ In12(n+1) oo． ，l=0 =0 由此得到下面的命题 ． 命题 = 且如果 一l则甄+2-_A2，并且其中范数等价．而当一1a1时， [ 其 中A =tf∈H(D)：I，IfI(1一Izl2) ／丌oo}． 在文[1]中，作者主要讨论了角微商与复合算子；在文[2]中，MaeCluer考察了复合算子的闭值域以及当 一 1a0时， 的一些简单性质．我们主要讨论 的核函数及其应用，以及复合算子谱的一些性质 ． 2 Dirichlet空间的核及其应用 我们知道，对于熟悉的Bergman空间L (D)以及Hardy空间 ，都有相应的再生核函数，分别为 K(z，∞)= 1／(1一 )与 c(，)：1／(1一 )．对于Dirichlet空间，其核函数 K ()：1+ 三 三三二(；)w／n：1+h(1一 )．在9上，内积定义为(，，g)：，(0)i +l／ ／丌． 这与前面的再生核有很大的差别，使用K ()的再生性质，可使一些问题的证明显得十分简单． 定理1 设A为9上一有界线性算子，则A为复合算子的充要条件为A K 是再生桉，其中K 为再生 核． 证明 ：设A= ，则(，，A K)：(Af，Kz)=( (，)， )=f。 ， )：f。 (z)：(f， ())，所以c；KJ=K()，即c；K为一再生桉． · e：若A K 为再生核，贝9A Kz=j )，即有 收稿 日期：2000—12—04 作者简介：at晓宏 (1974一)，男，1998级硕士生