GD1_8连续性间断点.ppt

第八节 一、函数的连续性 ●连续定义的ε—δ语言表达 3. 左连续与右连续 例1. 证明函数 二、 函数的间断点 例如: 间断点分类: 内容小结 思考与练习 * 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 函数的连续性与间断点 第一章 定义 设变量 u 从它的初值 u1 改变到终值 u2，终值与初值之差 u2-u1称为变量 u 的增量，记作?u=u2-u1。 注意： 增量可以是正的，也可以是负的。 当自变量 x 从 x0 改变到 x0+?x 时，函数 y=f(x) 相应的增量为 ?y=f(x0+?x)-f(x0)。 1. 变量的改变量： O x y y=f(x) f(x0) f(x0+?x) x0 x0+Dx Dx Dy 2、 函数连续性的定义 ●等价定义: 在 的某邻域内有 则称函数 设函数 且 定义 , ●函数 在点 (1) 在点 (2) 极限 (3) 连续的含义: 存在 ; 有定义 ,即 存在 ; 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该 区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 在闭区间 上的连续函数的集合记作 4、连续函数 例如, 在 上连续 . 有理整函数 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 只要 都有 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 1. 定义 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列 这样的 点 情形之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,