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§6.2 子环、理想和商环 一．子环 二．理想 三．商环 四．环的同态 一．子环 定义1 （P123 ，定义3.2.1 ）：设（A ，＋，· ） 是一个环，S是A的一个非空子集；若S对＋ 和·也构成一个环，则称S为A的一个子环，A 为S的一个扩环. 对于任意一个环A ，都有两个子环：{0}与A. 这两个子环称为A的平凡子环. 命题1：设S是环A的一个非空子集，则 S是A的子环的充要条件是对任何a ，b ∈S， 有a －b ∈S和ab ∈S. Gauss整数环Z[i]是复数域C的子环. Gauss整数环Z[i]是一个整环. 2 ( 1) 命题 ：对任一无平方因子的整数d d ≠ ， [ ] { | } 数集Z. ， Z 是整环 d a b d a b + ∈ 例 ：在实数域 R上的 阶全矩阵环 1 2 a ⎧⎛b ⎞ ⎫ a ⎜b c ⎟ d ∈ M R ， ， ， R 中， ( 2 ) c⎨⎩⎜⎝d ⎠⎟| ⎭⎬ a ⎧⎛b ⎞ ⎫ ⎧⎛a 0⎞ ⎫ ⎜ a ⎟ b ⎜ ⎟ a 令S ， R ，S ∈ ∈R ， 1 0⎨⎩⎜⎝0 ⎠⎟| ⎭⎬ 2 0⎨⎩⎜⎝0 ⎠⎟| ⎭⎬ 则S ，S 是M R ( ) . 的子环 1 2 2 注：设A是一个环，S是A的一个子环； （1）若A有单位元，S可以没有单位元； （2）若S有单位元，A可以没有单位元； （3）若A与S都有单位元，它们的单位元可以不同. 二．理想 1．理想 定义2：设A为环，I为A的非空子集，如果I满足： （1 ）∀a ，b ∈I ，a －b ∈I； （2 ）∀a ∈I 和 ∀x ∈A ，有ax ，xa ∈I； 则称I为环A的一个理想. {0}与A本身这两个理想称为A的平凡理想. 在整数环Z中，任意取定m ∈Z，则 I={mn |n ∈Z}是Z的理想. 在域F上多项式环F[x ]中，任意取定f (x)∈F[x ]， 则I={g (x)f (x)|g (x)∈F[x ]}是F[x ]的理想. 例 ：在所有 阶整数方阵做成的环M Z 中， 2 2 ( 2 ) （ A 1）所有元素恒为偶数的 方阵集合是M Z ( 2 ) 的一个理想；