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lecture2线性子空间
第二讲 线性子空间与同构
一、线性子空间的定义及其性质
1. 定义:设 V 是数域 P 上的线性空间,W 是 V 的一个非空子集。如
果 W 对于线性空间 V 所定义的加法运算及数量乘法运算也构成数
域 P 上的线性空间,则称 W 为 V 的线性子空间,简称子空间。
定理:设 W 是数域 P 上的线性空间 V 的一个非空子集合。则 W 是
V 的线性子空间的充要条件是:
(1) 如果 x 、y ∈W,则x +y ∈W;
(2 ) 如果 x ∈W,λ ∈P ,则λx ∈W 。
换言之:线性空间 V 的一个非空子集是子空间的充要条件是,W
关于 V 中定义的两个运算是封闭的。
例:在 n 维线性空间 Pn 中,子集
n
W {x | Ax 0, x∈P }
构成 Pn 的一个n-r 维子空间。r 是A ∈P m×n 的秩。
证明:任取x , x ∈W , 则Ax 0, Ax 0 ,
1 2 1 2
于是,A(x +x ) 0 ,x +x ∈W ;
1 2 1 2
又取y ∈W ,λ∈P ,Ay 0 则A(λy ) λAy 0, λy =∈W 。
得证。
2. 性质:(1)线性子空间 V1 与线性空间 V 享有共同的零元素;
(2 )V 中元素的负元素仍在 V 中。
1 1
[证明] (1)0x 0
∵x ∈V ⊂V
1
∴ V 中的零元素也在 V 中,V 与 V 享有共同的零元素。
1 1
(2 )∀x ∈V
1
(-1)x=( -x) ∈V 封闭性
1
∴ V 中元素的负元素仍在 V 中
1 1
3. 分类:子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间
平凡子空间:{0}和 V 本身(两个)
非平凡子空间:除以上两类子空间
4. 生成子空间:设 x 、x 、···、x 为 V 中的元素,它们的所有线性
1 2 m
组合的集合
⎧m ⎫
⎨∑k x | k ∈P ,i 1,2m⎬
i i i
⎩i 1 ⎭
也是 V 的线性子空间,称为由 x 、x 、···、x 生(张)成的子空
1 2 m
间,记为L(x 、x 、···、x )或者 Span(x 、x 、···、x ) 。
1 2 m 1 2 m
若 x 、x 、···、x 线性无关,则
1 2 m
dim{L(x 、x 、···、x )}=m
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