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MATLAB 迭代法
实验名称
1. 矩阵
,
证明:求解以为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的,而Gauss-Seidel方法是发散的;求解以为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel是收敛的,而Jacobi方法是发散的.
2. 矩阵
参数取什么值时,矩阵是正定的.
取什么值时,求以为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的. 实验目的
1、根据迭代收敛性的充分必要条件来判断Jacobi迭代式与Gauss-Seide迭代式的收敛性,迭代收敛性仅与方程组系数矩阵有关,与右端无关;而且不依赖于初值的选取。
2、根据矩阵的判断定理求得矩阵元素a的取值,同时根据矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的充分条件(严格对角占优)来求a得取值。
实验内容(算法、程序、步骤和方法) 1、(1)检验线性方程组的Jacobi迭代式的收敛性:
function jacobi(A)
D=zeros(3);
for i=1:3
D(i,i)=A(i,i);
end
B=D^(-1)*(D-A);
k=max(abs(eig(B)))
if k1
该线性方程组的Jacobi迭代式是收敛的
else k=1
该线性方程组的Jacobi迭代式是发散的
end
(2)检验线性方程组的Gauss-Seide迭代式的收敛性:
function Gauss(A)
D=zeros(3);
L=zeros(3);
U=zeros(3);
for i=1:3
D(i,i)=A(i,i);
end
L(2:3,1)=A(2:3,1);
L(3,2)=A(3,2);
U(1,2:3)=A(1,2:3);
U(2,3)=A(2,3);
B=-(D+L)^(-1)*U;
k=max(abs(eig(B)))
if k1
该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是收敛的
else k=1
该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是发散的
end
2、(1)参数取什么值时,矩阵是正定的.(矩阵的特征值全为正)
syms a
A=[1 a a;a 1 a;a a 1];
eig(A)
ans =
2*a+1
1-a
1-a
a1=solve(2*a+1=0,a);
a2=solve(1-a,a);
a1,a2
a1 =-1/2
a2 =1
(2)取什么值时,求以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的.
syms a
A=[1 a a;a 1 a;a a 1];
%系数矩阵严格对角占优时,以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛,则12|a|.
a=solve(1-2*abs(a),a)
结论
(结果) (1)以为系数矩阵线性方程组的两种迭代式收敛性结果:
A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1];
jacobi(A)
k =
5.8106e-006
ans =
该线性方程组的Jacobi迭代式收敛
A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1];
Gauss(A)
k = 2
ans =
该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是发散的
根据以上数据可知以为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的,而Gauss-Seidel方法是发散的。
(2)以为系数矩阵线性方程组的两种迭代式收敛性结果:
A=[2 -1 1;2 2 2;-1 -1 2];
jacobi(A)
k =
1.1180
ans =
1
ans =
该线性方程组的Jacobi迭代式不收敛
A=[2 -1 1;2 2 2;-1 -1 2];
Gauss(A)
k =0.5000
ans =
该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是收敛的
根据以上数据可知以为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel是收敛的,而Jacobi方法是发散的.
2、(1)参数取什么值时,矩阵是正定的.
ans =
2*a+1
1-a
1-a
a1=solve(2*a+1=0,a);
a2=solve(1-a,a);
a1,a2
a1 =-1/2
a2 =1
所以参数a的取值范围为(-1/2,1)
(2)、取什么值时,求以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的.
a =
1/2
-1/2
所以a的取值范围为(-1/2,1/2)时,求以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的.
小结(对本次实验的思考和建议) 在使用迭代法进行计算时要注意,迭代法的适用范围,因为不是所有的系数矩阵线性方程组都是收敛的。而且不同的迭代法的收敛性也是不同的,在选取迭代法进行求解时适用范围也要注意。
备注或说明(成功或失败的原因、
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