MATLAB 迭代法.doc

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MATLAB 迭代法

实验名称 1. 矩阵 , 证明:求解以为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的,而Gauss-Seidel方法是发散的;求解以为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel是收敛的,而Jacobi方法是发散的. 2. 矩阵 参数取什么值时,矩阵是正定的. 取什么值时,求以为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的. 实验目的 1、根据迭代收敛性的充分必要条件来判断Jacobi迭代式与Gauss-Seide迭代式的收敛性,迭代收敛性仅与方程组系数矩阵有关,与右端无关;而且不依赖于初值的选取。 2、根据矩阵的判断定理求得矩阵元素a的取值,同时根据矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的充分条件(严格对角占优)来求a得取值。 实验内容(算法、程序、步骤和方法) 1、(1)检验线性方程组的Jacobi迭代式的收敛性: function jacobi(A) D=zeros(3); for i=1:3 D(i,i)=A(i,i); end B=D^(-1)*(D-A); k=max(abs(eig(B))) if k1 该线性方程组的Jacobi迭代式是收敛的 else k=1 该线性方程组的Jacobi迭代式是发散的 end (2)检验线性方程组的Gauss-Seide迭代式的收敛性: function Gauss(A) D=zeros(3); L=zeros(3); U=zeros(3); for i=1:3 D(i,i)=A(i,i); end L(2:3,1)=A(2:3,1); L(3,2)=A(3,2); U(1,2:3)=A(1,2:3); U(2,3)=A(2,3); B=-(D+L)^(-1)*U; k=max(abs(eig(B))) if k1 该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是收敛的 else k=1 该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是发散的 end 2、(1)参数取什么值时,矩阵是正定的.(矩阵的特征值全为正) syms a A=[1 a a;a 1 a;a a 1]; eig(A) ans = 2*a+1 1-a 1-a a1=solve(2*a+1=0,a); a2=solve(1-a,a); a1,a2 a1 =-1/2 a2 =1 (2)取什么值时,求以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的. syms a A=[1 a a;a 1 a;a a 1]; %系数矩阵严格对角占优时,以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛,则12|a|. a=solve(1-2*abs(a),a) 结论 (结果) (1)以为系数矩阵线性方程组的两种迭代式收敛性结果: A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; jacobi(A) k = 5.8106e-006 ans = 该线性方程组的Jacobi迭代式收敛 A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; Gauss(A) k = 2 ans = 该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是发散的 根据以上数据可知以为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的,而Gauss-Seidel方法是发散的。 (2)以为系数矩阵线性方程组的两种迭代式收敛性结果: A=[2 -1 1;2 2 2;-1 -1 2]; jacobi(A) k = 1.1180 ans = 1 ans = 该线性方程组的Jacobi迭代式不收敛 A=[2 -1 1;2 2 2;-1 -1 2]; Gauss(A) k =0.5000 ans = 该线性方程组的Gauss-Seidel迭代式是收敛的 根据以上数据可知以为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel是收敛的,而Jacobi方法是发散的. 2、(1)参数取什么值时,矩阵是正定的. ans = 2*a+1 1-a 1-a a1=solve(2*a+1=0,a); a2=solve(1-a,a); a1,a2 a1 =-1/2 a2 =1 所以参数a的取值范围为(-1/2,1) (2)、取什么值时,求以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的. a = 1/2 -1/2 所以a的取值范围为(-1/2,1/2)时,求以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代式收敛的. 小结(对本次实验的思考和建议) 在使用迭代法进行计算时要注意,迭代法的适用范围,因为不是所有的系数矩阵线性方程组都是收敛的。而且不同的迭代法的收敛性也是不同的,在选取迭代法进行求解时适用范围也要注意。 备注或说明(成功或失败的原因、

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