MATLAB学习第七章.ppt

7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长 7.5 差分方程简介 第七章 差分方程模型 差分方程模型 对于连续型的时间变量，动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，与此对应，当时间变量离散化后，可以用差分方程建立动态离散模型。本节先简单介绍差分方程及其稳定性理论，然后利用差分方程稳定性理论建模的实例。 差分方程稳定性理论简介 一阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定性 设有差分方程 则称平衡点 是稳定的；否则，称 是不稳定的。 设有差分方程 方程（3）的解可表示为 关于点 的稳定性有如下的结论： 点 对于方程（3）和（1）都是不稳定的 点 对于方程（3）和（1）都是稳定的 一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性 将（4）式右端在点 做Taylor展开，取一次项(4)近似为： 点 对于方程（4）和（5）都是不稳定的 点 对于方程（4）和（5）都是稳定的 于是得到： 二阶线性常系数差分方程的平衡点与稳定性 平衡点的稳定性相同 方程（6）（7）的特征方程为 对于方程（6）和（7）平衡点稳定 7.1 市场经济中的蛛网模型 问 题 供大于求 现 象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 价格下降 减少产量 增加产量 价格上涨 供不应求 描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡 蛛 网 模 型 g x0 y0 P0 f x y 0 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 消费者的需求关系 生产者的供应关系 减函数 增函数 供应函数 需求函数 f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 x y 0 f g y0 x0 P0 设x1偏离x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 P0是稳定平衡点 P1 P2 P3 P4 P0是不稳定平衡点 x y 0 y0 x0 P0 f g ? ? 曲线斜率 蛛 网 模 型 ? 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方 程 模 型 方程模型与蛛网模型的一致 ? ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ? ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 考察? , ? 的含义 ? ~ 消费者对需求的敏感程度 ? ~ 生产者对价格的敏感程度 ?小, 有利于经济稳定 ? 小, 有利于经济稳定 结果解释 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 经济稳定 结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使 ? 尽量小，如 ?=0 以行政手段控制价格不变 2. 使 ? 尽量小，如 ? =0 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 结果解释 需求曲线变为水平 供应曲线变为竖直 模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k??, xk?x0的条件 方程通解 (c1, c2由初始条件确定) ?1, 2~特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k??, xk?x0的条件: 平衡点稳定条件 比原来的条件 放宽了 模型的推广 7.2 减肥计划——节食与运动 背景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 分析 体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 ~正常； BMI25 ~ 超重; BMI30 ~ 肥胖. 模型假设 1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1公斤； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70公斤的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5公斤，每周吸收热量不要小于10000千卡。 某甲体重100公斤，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75公斤。 第一阶段：每周减