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Mu平均与第二类完全椭圆积分ir

杭州 电子工业学 院学报 ■ 第20卷第1期 JOURNALOFHANGZHOUINSTITUTEOF Vd.20.No.1 2000年2月 ElECTR0NICENGINEERING Feb.20()0 Muir平均与第二类完全椭圆积分 裘松良 (杭州电子工业学院,浙江杭州310037) 摘要:文献[7]和[儿]证明了M.Vuorinen的猜测:E(r)(7r/2)M(r,3/2),其中E(r)和M(r,t) 分别由式3和式1定义。本文研究与此对称的E(r)的由Muir平均M(/,t)给出的上界问题,证 ◆ 明了使不等式E(r)(/2)M(r,f)对一切r∈(0,1)成立的最佳 t值为(bg2)/log(~2/):1,534 … ,从而完善了关于E(r)的Muir平均逼近问题的结果。 关键词:完全椭圆积分;Muir平均;逼近;椭圆周长 中图分类号:O174.6 文献标识码:A 文章编号:1001—9146(2000)01—0028—06 1 主要结果 依习惯,对注意的r∈[0,1],本文总计r=√1一r。设t∈(0,∞),r∈[0,1],所谓1和r的t阶 幂平均(亦称Muir平均)由下式定义: M(r,t)=[(1+r)/2] (1) 第一类完全椭圆积分K和第二类完全椭圆积分E分别由下面的式2、3定义: K:K(r)=I (1一r2sin232) dx,K=K(r)=K(r) (2) ’0 (Or1), f /2 E=E(r)=l (1一r2sin32) ,E=E(r)=E(r) (3) (O≤r≤1)。关于K和E的基本性质与应用,可参见文献[1—5]。 设r∈(0,1),以l(1,r)[L(a,b)]表示长、短半轴依次为1和r(a和b)的椭圆周长。众所周知, l(1,r)和L(a,b)可表示为[6-7]: l(1,r)=4E(r) (4) f2/ L(n,b):l (asin2z+b2cos2x)2/dx=4aE(b/a) (5) T.Muir早就指出[8]:l(1,r)可用2zrM(r,3/2)来近似。受此启发,M.Vuorinen猜测[一。]: E(r) M (r,3/2,or1。 (6) 收稿日期:1999—12—9 作者简介:裘松良(1957一),男,浙江富阳人,教授,博士,拟共形理论,解析函数,特殊函数,数论 第1期 裘松良:Muir平均与第二类完全椭圆积分 29 文献[7]证实了此猜测,并获得: 0E(r)一 M(r,3/2(1—2—5丌)r。 不久前,文献[11]也用不同方法证明了此猜测。容易说明:式6中常数32/是最佳的。 最近,R.W.Bamard等人获得[12]: E(r)7l-M(r,2),0r1 (7) 由于1=E(1)号M(0,2): ,故式7中的£值2不是最佳的。因为M(r,£)关于£在实数集 R上是单调上升的

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