NOD序列Sung型加权和的完全收敛性.pdf

数学物理学报 http：／／actams．wipm．ac．cn NOD序列 Sung型加权和的完全收敛性 李炜 (仲恺农业工程学院计算科学学院 广州 510225) 摘要：该文把Sung_1J的一个关于同分布的P 一混合随机变量序列加权和的完全收敛性结果推 广到了NOD随机变量序列加权和情形．由于 Sung[1_的结果的证明工具是最大值 Rosenthal 型矩不等式，而对于 NOD而言最大值 Rosenthal型矩不等式是否成立至今未知，因此该文 的证明方法不同于已有的结果． 关键词：NOD序列；Sung型加权和；完全收敛性． MR(2010)主题分类：60F15 中图分类号：O211．4 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2015)04—729—09 1 引言及主要结果 在统计中，很多统计量，如最小二乘估计、密度核估计、非线性回归核估计等等，都表 现为随机变量序列加权和形式，因此对随机变量序列加权和极限性质的研究是有必要的． 最近Sung[l对同分布P 一混合随机变量序列加权和 (我们称之为Sung型加权和)获得 了如下完全收敛性的结果． 定理 A 令 r1，1 P2，{x，X ，扎 1为同分布的P 一混合随机变量序列满足 EX=0及E{lP。。．设常数序列 {0 l i n，几 1)满足 对某qrp，∑l。t{=。(礼)． (1．1) = 1 则对任意 ￡0有 nr-2p (max．niXi}en1p／)。。． c．2， 反之，若对任意满足条件 (1．1)的常数序列 {n 1 i 礼，n l}．(1．2)式都成立，则必有 EX=0及 EIXIPco． 完全收敛性的概念是由Hsu和 Robbins[]最先提出并加以研究的．从那时开始就已吸 引了众多学者的关注，至今已取得了丰富的成果． 到 目前为止，几乎没有文章继续研究 Sung型加权和的完全收敛性．本文的目的是在 NOD情形下获得Sung型加权和的完全收敛性．我们先来介绍有关概念． 收稿 日期：2014—05—08；修订 日期：2014一i0—20 E—mail：liweizk@ 163．com 基金项 目：国家自然科学基金 资助 730 数 学 物 理 学 报 Vo1．35A 定义 1．1 称随机变量序列 1，2，… ， 是 NUOD (negativelyupperorthantdepen— dent)的，如果对任意实数 Xl，X2，… ，Xk有 称随机变量序列 1，2，… ， 是NLOD(negativelylowerorthantdependent)的，如果有 P(X Xii=1，2，一·，)IIP(Xi )． P = 1 称随机变量 1，x2，… ， 是 NOD (negativelyorthantdependent)的，如果它既是 NUOD 的又是NLOD的．称无穷随机变量序列f ，n 1}是 NOD的，如果它的每一个有限子列 1，2，．一， 是 NOD的． lI 【 NOD这一概念是由Joag—Dev和 Pro8chan[0]在 1983引入的．显然每一个独立随机变 2 量序列是 NOD的．Joag—Dev和Proschan。【]指出著名的NA随机变量序列是 NOD的，但 NUOD或 NLOD不能推出NA．他们给出了一个是 NOD但不是 NA的例子，这说明NOD 是严格弱于NA的．由于 NOD在金融、保险、可靠性分析、多元统计分析和