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Orlicz Sylvester Busemann型函数的极值研究
数 学 年 刊
2015,36A(4):439—450
DOI:10.16205/j.cnki.cama.2015.0041
OrliczSylvesterBusemann型函数 的极 值研 究 冰
陈方 维 杨丛丽。罗 淼
提要 研究了两个OrliczBusemann型函数A(;咖)和 ,(;;m),建立了A(Kt;咖)和I(Kt;咖;m)
的最小值.特别地,在二维平面的情况下,给出了它们的最大值.
关键词 Orlicz中心体,Sylvester型函数,平行弦运动
MR (2000)主题分类 52A20,52A40
中图法分类 O175.29
文献标志码 A
文章编号 1000—8314(2015)04—0439—12
1 引 言
1864年 Sylvester在文 1【1中提出著名的Sylvester问题:设 为平面 上的一个凸
区域,求平面上由任意 4个点组成的凸多边形完全落入 内的概率P().Sylvester自
己解决了当 为三角形的情况.Crofton在文 2【]中给出了 为三角形、平行四边形、
六边形和圆等情况的解,并且断言平面所有区域中当 为椭圆时 P()取得最小值.
Czuber在文 f31中猜想当 为三角形时P()取得最大值. 1917年 Blaschke在文 [4]
中证明了在平面的情况下,当 为椭圆和三角形时P()分别取得最小值和最大值.n
维的Sylvester问题可表述为:设 为 中的凸体,任意取 中扎+2个点,P()表
示其中一个点落入其余点的凸包的概率,当 取哪一种类型的凸体时P()取得极值?
求P()的极值问题的解引起了很多作者的兴趣.Kingman在文 [5]中给出了当K
为n维单位球的解,Groemer在文 [6]中证明了 为几维椭球时JF)()取得极小值.事
实上, Sylvester问题与以下函数密切相关:
s(;札)=南 … ,… 。… ,
其中 ll表示 的体积,[Xo,X1,… , ]表示点X0, ,… ,X 的凸包的体积.S(;n)
实际上为从 中随机地、独立地、均匀地选取佗个点构成的单型的体积标准化后的平均
值.确切地说,当 S(;n)扩大 n+2倍就是 中任取 Tt,+2个点,其中一个点落入其
余点的凸包的概率,因此回答了 Sylvester提出的相关问题.
易知 f ;礼)是仿射不变的,因此保证了它能取得最大值和最小值.然而当 取哪
一 种类型的凸体时S(;n)取得最大值这个问题仍然没有解决,并且猜想当 为单型时
(;n)取得最大值.
本文 2013年 1月28 日收到, 2015年 3月23日收到修改稿.
贵州财经大学数学与统计学院,贵阳550025.E—mail:cfw—yy@126.com
贵州师范大学数学与计算机科学学院,贵阳550001.
E—mail:yangcongli@gznu.edu.cn;Im975318@163.tom
本文受到国家 自然科学基金 (NoNoNo,中国科学院西部之光人才项
目,贵州省科学技术 (联合)基金 (No.[2012】2273,No.[2014]2044,No.f2011】16),贵州省留学人员择优
项 目和贵州师范大学博士基金的资助.
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近年来,Sylvester问题的推广受到了广泛的研究. Groemer在文 [7]中把凸体
中的点的个数推广到任意个数,并且把随机多面体的体积推广到P次幂形式,即
S(K;m;p) … 。。 。 …血m’ (L)
他还证明了当m ≥_n和P≥1时,椭球仍然是 (;m;P)取得最小值的唯一凸体.当
P0和m=d,Sch6pf在文f8]中获得了同样的结果.在平面的情况下,Dalla和Larman
在文 f9]中证明了当 为三角形时,s(;m;1)取得最大值,Giannopoulos在文 1【0】中
证明了三角形是 s(;m;1)唯一取得最大值的凸体.
Busemann在文 f111中把凸体的体积表示成它的中心截面的面积的表达式,即
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