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高校应用数学学报 2010, 25(2): 214-218 广义调和映照正则性的一个注记 蒋先江 宁波大学理学院 浙江宁波 摘 要: 广义调和映照(p = 2)属于W , q 1且其BMO范数很小的时候的正则性 由Strzelecki得到. 对于广义p调和映照, 文中证明了, 当p和2很接近的时候, 类似的结 果也对. 其证明主要运用了BMO和H 的对偶, Hodge分解的稳定性及反H¨older不等式. 关键词: 广义p调和映照; 正则性 中图分类号: O175.14 文献标识码: A 文章编号: 1000-4424(2010)02-0214-05 § 引言及结果 设N 是闭的无边的紧黎曼流形, 等距嵌入到 中. Ω ⊂ 是 中的有界开集. 考虑映 照u : Ω → N , p 能量泛函定义为 1 ∫ E = |∇u | dx. p Ω 这里u = (u , u , · · · , u )是从Ω到 的映照, u(x) ∈ N, u (x) ∈ W (Ω), i = 1, 2, · · · , m. 称满 足这样条件的u属于W (Ω , N). 若∀ϕ ∈ W (Ω , ) ∩ L∞ (Ω , ), u满足 d | E (π ◦ (u + tϕ)) = 0, dt 则称u为弱p调和映照, 这里π是到N 最近点的投影映照. 对应的Euler-Lagrange方程为: − − div( |∇u | ∇u) = |∇u | A(du, du). 这里A是N 的第二基本形式. 当N = S− 时, 对应的Euler-Lagrange方程为: − div( |∇u | ∇u) = |∇u | . (1) − 弱p调和映照的正则性和部分正则性问题已经有很多结果 . 对于N = S 的情形, 我们 还可以定义一种更弱的解. 注意到当u ∈ W 时, (1)和 − div( |∇u | (u ∇u − u ∇u )) = 0 (2) 是等价的. 但(2)只需u ∈ W − (Ω)就有意义. 因此定义广义p调和映照为: u ∈ W − (Ω)是广 义p调和映照当且仅当(2)式满足. 收稿日期 基金项目 国家自然科学基金 宁波市自然科学基金 蒋先江: 广义p调和映照正则性的一个注记 215 本文主要研究广义p调和映照的正则性. 这里的正则是指当p = 2时u ∈ C∞ (Ω), 当p ≠