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Stolz定理数列形式的一个逆命题及其推广
第26卷第4期 重庆工商大学学报 (自然科学版) 2009年8月
V01.26 NO.4 JChongqingTeehnolBusinessUniv.(NatSciEd) Aug.2009
文章编号:1672—058X(2009)04—0322—05
Stolz定理数列形式的一个逆命题及其推广
庹 亚 林
(重庆师范大学 数学与计算机科学学院,重庆401331)
摘要:st0lz定理是数学分析中解决音型和詈型极限的一个重要工具.、出了其逆命题成立的一个充
要条件,并将其推广到函数形式,解决了一些问题,所得到的结论是对Stolz定理的进一步推广
关键词:Stolz定理;数列形式;逆命题;充要条件;函数形式
中图分类号:O174.5 文献标志码 :A
St。lz定理是数学分析中极限理论的重要内容,是解决吾型和型极限的一个重要工具,它使得许多常
见的经典之例得到巧解和扩充 ].近年来 ,许多学者对 Stolz定理进行了不同方面的推广.文献 [1]给出了
Stolz定理各种形式的推广,列举了一些典型的例题.文献 [2]将 Stolz定理推广到函数形式,:给出了证明.
文献 [6]用另一种方法证明了函数形式的Stolz定理,并给出了一些类似定理.文献 [7]中引斥’文献 [2]将其
推广到Toeplitz定理,作者在此基础上将Stolz定理和Toeplitz定理进行了推广,得到一系列重要的结论.文献
[8]中,作者指出了Stolz定理和L’Hospital法则之间的联系,并给出了相互的推导.文献 [9]口,作者在差分
方向上做了推广.此处指出了Stolz定理逆命题成立的一个充要条件,并给出了证明,同时得 副-fi-型的类似
情况.
定理1[1叫(Stolz定理)若g/limY=+∞,且Y从某一项开始严格单调增加,如果lim __三 =z(z为
-- - I+ ∞ n— + ∞ V 一 V ,
有限数,+∞或 一∞),则 lim =Z.
_++ Y
Stolz定 理 的逆 命 题 不一 定正 确,例如 =(一1),),=n时,lim =0,lin =
,H +∞ V n_+ ∞ V — V ,
(一1)“一(一1) ={一2,2,一2,2,…}极限不存在,下面探讨在何种情况下,其逆命题成立.
定理2 limY=+。。,且Y从某一项开始严格单调增加.
(1) lim— :A(A为有限数),若 lim9gn:z(1为有限数, +∞,或 一∞),则 lim :z;
-++ ∞ n —yn一1 ∞二y ∞ n— n一1
(2)lim— :A(A为有限数),若 lim :l(1为有限数,+oo,或一∞),则 lim :z.
∞
n 一
一 1 H ∞Y _+ ∞ n 。‘Yn一1
^一 J^一 I
证明 (1)当z为有限数时,由于 lira-il,rt=z甘 V 0
, N1o,当nNl时,有}一zI,Y-N为lira
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