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§10.2 二重积分的计算法(二)
一、利用极坐标系计算二重积分 二、小结 * * 一、利用极坐标计算二重积分 二、小结 思考题 §10.2 二重积分的计算法（二） 首先分割区域 D 两组曲线将D分割成许多小区域 用 1.极坐标系下二重积分表达式 将典型小区域近似看作矩形（面积=长×宽） 则 面积元素 扇形弧长 径向宽度 则 二重积分极坐标表达式 可得下式 极坐标系下的面积元素为 直角坐标系下的面积元素为 区别 注意 2.二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图 （1）极点O在区域 D 的边界曲线之外时 定限口诀仍适用 注 若区域特征如图 特别地 定限口诀 （2）极点O 恰在区域 D 的边界曲线之上时 区域特征如图 定限口诀 （1）的特例 3. 极坐标系下区域的面积 区域特征如图 （3）极点O 在区域D 的边界曲线之内时 定限口诀 （2）的特例 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试问? 的变化范围是什么? 答: (1) (2) 观察练习 解 例1 x y o 的原函数不是初等函数 ,故本题无法 由于 用直角坐标计算. 例2 解 注 1. 利用例2可得到一个在概率论与数理统计中、 以及工程上非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例2的结果, 得 ① 故①式成立 . 该法比教材上的方法简捷. 注 2. 说明 例3 解 （课本P148例6） 由对称性 其中 例4 解 用极坐标表示 经验 一般来说，当积分区域为圆形、扇形、环 形区域，而被积函数中含有 时，采用极坐标计算二重积分往往比较简单.
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