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§16-2 第二类曲面积分
§16-2 第二类曲面积分
即向量值函数在有向曲面上的积分
一、有向曲面
设曲面光滑
双侧曲面:规定法线正向后,确定某点,从该点出发,沿曲线上沿一条不越过边界的闭曲线连续移动,当回到原始位置时,法线的正向保持不变.
如:① 图示 ②演示一纸带不扭粘合
单侧曲面:如:③ 麦比马斯带
说明: 研究双侧曲面(决定了侧:上侧、下侧(图示))
有向曲面:
指定上侧:
下侧:
二、(第二类曲面积分的)概念
例:设中稳定流动(与t无关)的不可压缩流体(密度为1),其速度物,又设是内一张光滑有向曲面,取上侧,求单位时间内流体自的下侧穿过流向上侧的流量.
(1)常流速,平面
=以A为底面积,为斜高的斜柱体体积
=
说明: 如图,上式成立
实际流向指定侧的负侧, 应为负,而恰负,亦成立.
成立
(2)变流速, 曲面, (微元法)
①(任意分割) (同时代表面积) 很小
②(以常代变以平代曲)
③(作和式)
④(取极限)
定义:,是一光滑的有向曲面 P,Q,R在连续
设
记
名称:向量值函数沿有向曲面指定一侧的第二类曲面积分,对坐标的曲面积分
有向曲面元素(几何) 积分曲面
被积函数 P,Q,R
三、第二类曲面积分的计算法
1. 本教材
:
(1) 上侧:
(第一类)
(2) 下侧: 上公式添“-”号.
2. 其他教材
设:
(1) 上侧: ,
取极限 即 二重积分定义
(2) 下侧:
,
同理, 分别前后侧且:
分别右左侧且:
例1:计算第二类曲面积分,是平面在第一象限部分的上侧.
解: 图示 :
:
例2:计算曲面积分,:外侧.
解一:
: 上侧
: 下侧
:
解二:
例3:计算第二类曲面积分.其中是圆柱面被平面和所截出部分的外侧.
解:图示
: 前侧
: 后侧
:
作业: 9 10 12 15
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