§3-5 分部积分法.doc

§3-5 分部积分法 分部积分法用的是积分规则 它是根据函数乘积的微分规则得到的积分规则.事实上，因为 所以(两端取逆运算)， 于是得分部积分规则 分部积分法把求左端的原函数转化为求右端的原函数.例如， 再如， 你能看懂上面的演算吗？ 分部积分法对求某些函数的原函数特别有效. 例18 一般地，求形状为的原函数时，第一步演算是 例19 一般地，求形状为或的原函数时，第一步演算是 例20 一般地，求形状为的原函数时，第一步演算是 例21 一般地，求形状为的不定积分时，第一步演算是 反三角函数)反三角函数) 例22 最后一个积分就是开始要求的那个积分，把它移到左端，则得 因此， 用类似的方法，可得 关于上面例22中的积分方法 (分部积分两次后，又出现开始要求的那个积分，然后像解代数方程那样求解)，我们再举一例. [套用积分公式⒃] （移到左端） 于是得 例23 在上一节的习题最后，曾让读者用换元积分法求原函数 现在，我们再用分部积分法做一下.为此，令 根据分部积分法，则有 由此可解出 其中 [积分公式(10)]. 因此得 【注释】用类似的方法可以得到关于 的递推公式.事实上， 移项则得 我们最后又得到以下几个积分公式： ⒅ ⒆ ⒇（递推公式） 用到时直接套公式就行了. 根据提示做习题 1.求下面的原函数： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ [或直接套用积分公式⒆，或像例22那样再做一遍] 答案:⑴；⑵；⑶；⑷； ⑸；⑹；⑺； ⑻； ⑼； ⑽. 2.求下面的原函数(根据提示，把题做到底): ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ 答案:⑴；⑵； ⑶；⑷； ⑸；⑹； ⑺；⑻； ⑼；⑽；⑾；⑿. 128 第3章 牛顿-莱布尼茨和积分法 129 §3-5 分部积分法