§4 矩阵相似的条件.ppt

上页 下页 返回 结束 §4 矩阵相似的条件 引理1 如果有n×n数字矩阵P0, Q0使 则 A与B相似. 证明： 因为 两端比较后可知， 由此 而 故A与B相似. 引理2 对于任何不为零的n×n数字矩阵A和 矩阵 与 一定存在 矩阵 与 以 及数字矩阵U0和V0使 （2） （3） 证明： 将 改写成 其中 都是n×n数字矩阵，且 若m = 0，则令 及U0 = D0，它们显然满 足引理2的要求. 若m 0，令 其中Qj都是待定的数字矩阵. 于是 故欲使（2）时成立，只需取 即可. 用完全类似的方法可以求出 和V0. 定理7 设A，B是数域P上两个n×n矩阵，A与B相似 的充分必要条件是它们的特征矩阵 与 等价. 证明：由定理6的推论知， 与 等价 有可逆的 矩阵 与 使 先证必要性. 设A与B相似，即有可逆矩阵T，使 于是 从而 与 等价. 再证充分性. 设 与 等价，即有可逆的 矩阵 使得 由引理2，存在 矩阵 与 以及数字矩阵 U0和V0使得 （4） （5） （6） 将（4）改写为 再将 代入，并移项得 若 则上式右端的次数为1. 因此 是一个数字矩阵，记为T， 即 （7） （8） 下证T是可逆的.由（7）有 若V0＝O，则 事实上，后面的证明说明了这是不可能的 上述右端的第二项必须为零， 否则它的次数≥1， 由于E和U0T都是数字矩阵，等式不可能成立. 因此 再由引理1知，A与B相似. 矩阵A的特征矩阵 的不变因子就简称为A 的不变因子. 于是我们有下面的推论： 推论 矩阵A与B相似的充分必要条件是它们有相同的 不变因子. 注 n×n矩阵的特征矩阵的秩一定是n. 因此，n×n矩阵的不变因子总是有n个， 并且它 们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式. 以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量， 因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因 子（它们与该矩阵的基选取无关）定义为此线性变 换的不变因子. 令人感到高兴的是，现在我们又找出了两个相 似不变量：不变因子与行列式因子. 重要的是它们 中间的一个相等都可以作为两个矩阵相似的充分必 要条件，这正是我们所期望的. 一方面，我们可以 根据这两个量去判别两个矩阵是否相似； 另一方面， 给定一个矩阵，我们可以根据它们去构造出与其相 似的具有最简单形式的矩阵. 上页 下页 返回 结束