§5.2 -5.3积分基本方法.ppt

内容小结 * * 一、积分上限的积分函数及其导数 二、牛顿—莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式 §5.2 微积分基本定理 5.2.1 积分上限函数 x 积分上限函数 定理5.2.1 设函数 f (x) 在[a , b]上可积, 如果函数 f (x) 在[a , b]上连续, 则函数 在[a , b]上可导, 且 5.2.1 积分上限函数 证 证毕. 即 定理5.2.1 (原函数存在定理) 例2 . 例1 . 如果函数 f (x) 在[a , b]上连续, 则 是 f (x) 在[a , b]上的一个原函数, 公式 说明: 变限积分求导: 例3 . 例4. 例5 (1) (2) 5.2.2 牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式 定理5.2.2 证 也是 f (x)的一个原函数, 则 记 微积分学基本公式 即 证毕. F(x)是f (x)的一个原函数， 设函数 f (x) 在[a , b]上连续, F(x)是f (x)的一个原函数， 5.2.2 牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式 例1. 例2. 例3. 例4. . （例1） （例2） 例5.设 求 在[0,2]上的表达式. 解. 当 时, 当 时, 所以 1 x 2 0 x （例3） 练习 .计算 其中 解 例7 .求 在区间[0,1]上的最大值和最小值. 解 所以F(x)在区间[0,1]上单增, 最大值为F(1), 最小值为F(0), 且 F(0)=0. 因为 则有 1. 微积分基本公式 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 §5.3 换元积分法和分部积分法 定积分的换元积分法 定积分的分部积分法 5.3.1 定积分的换元积分法 定理5.3.1 设函数 在 上连续， 函数 满足： (1) 则有 例 在 上有连续导数 ， (2) 且 例1. 解 设 解 设 例2 计算 例3 计算 解 设 注意 (1).代换 必须单值且有连续导数; (2).换元的同时,必须换积分限; (3).积分后不必还原,只要把新的积分限代入即可. 结论 结论 证 例4.证明若 为偶函数, 则有 所以, 同理 若 为奇函数, 例如, 则 (例3) 例5.设 函数 计算 解 设 例6 求 解： 由于区间[-1,1]关于原点对称， 函数 为奇函数， 为偶函数， 所以 （例4） 证： 令 则 当 时， 当 时， 于是 例7 设n是正整数，试证 (例5) (例6) 求 例8 设f(x)连续，且 解： 所以 上式两边对x求导，得 即 令 则 即 5.3.2 定积分的分部积分法 设函数 在 上有连续导数，则 定积分的分部积分公式 证 定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同 . 定理 例1. 计算 解 例2. 计算 解 例3 设 求 解： 将 代入上式，得： 设 例4 求 解 其中 为奇函数， 因此 所以 练习. 计算 解 运行时, 点击按钮 “公式” 可显示变限积分求导公式.