《复变函数与积分变换》辅导资料十五.doc

复变函数与积分变换辅导资料十五 主 题：第七章 傅里叶变换1-2节 学习时间：2013年1月7日－1月13日 内 容： 通过一定的手段将问题进行转化，数学上称之为变换。恰当的变换能将复杂问题转化成简单问题，类似于对数运算能将积商运算转化成加减运算一样，积分变换是一种数学变换，它能将卷积运算变成乘积运算，能将分析运算转化成代数运算，从而可将微积分方程转化为代数方程，使求解变得简单，所以积分变换是一种重要的运算工具。本周学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、理解傅里叶变换及其逆变换的概念 2、了解单位脉冲函数的性质 基本概念：傅里叶变换及其逆变换 知识点：是以T为周期的周期函数，并且在区间上满足狄利克雷条件： 1、连续或只有有限个第一类间断点； 2、只有有限个极值点， 那么，在上就可以展开成傅里叶级数。 在的连续点处， 另还可以表示为 这就是傅里叶级数的复指数形式，或者写为 为了今后应用上的方便，下面把傅里叶级数的三角形式转换为复指数形式。利用欧拉公式，有 （要求记住） （要求记住） 二、非周期函数的傅里叶积分公式 傅里叶积分定理：若定义在上的函数满足下列条件： 1、在任一有限区间上满足狄利克雷条件； 2、在有限区间上绝对可积，即收敛，则在的连续点上，的傅里叶积分公式成立，即。 而在的间断点t处，上式的右端收敛于。 第二节、傅里叶变换 （要求达到“领会”层次） 一、傅里叶变换及傅里叶逆变换 定义：设函数满足傅里叶积分定理中的条件，则在的傅里叶积分公式中，称为的傅里叶变换，记作。 称为函数的傅里叶逆变换，记作。 与是一对傅里叶变换，可记为，，其中，叫做的像函数，叫做的像原函数。 特别地，当为奇函数时，有，叫做的傅里叶正弦变换或简称为正弦变换，即。 而叫做的傅里叶正弦逆变换或简称为正弦逆变换，即。 当为偶函数时，有，叫做的傅里叶余弦变换或简称为余弦变换，即。 而叫做的傅里叶余弦逆变换或简称为余弦逆变换，即。 典型例题： 例1、求指数衰减函数的傅里叶变换。 解：由，有 = 例2、求函数的正弦变换和余弦变换。 解：根据式，的正弦变换为 根据式，的余弦变换为 二、单位脉冲函数及其傅里叶变换 定义：一个函数，如果它满足及，则称此函数为函数。 单位脉冲函数的性质： 1、筛选性质 设是定义在实数域上的有界函数，且在t=0处连续，则 一般地，有 证明： 同理 2、偶函数 ，所以。 3、单位阶跃函数 ，其中为单位阶跃函数。 单位脉冲函数的傅里叶变换： 由此可见，单位脉冲函数与常数1构成了一个傅里叶变换对。同理有 。 典型例题： 例、求正弦函数的傅里叶变换 解：根据傅里叶变换公式，有 } = 第1页 共4页