《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第11章.pdf

三 幂级数问题 1 收敛域问题 例40 求下列级数的收敛域： ∞ n n ∞ n ( ) x −1 ⎛2 −x ⎞ （1）∑ ⎜ ⎟ ； （2 ）∑ 2 n ； ( ) 3 n 1 2n + ⎝2 +x ⎠ 1+x 1+x n 1 1+x ( )( ) n ⎛ x ⎞ ⎜1+ ⎟ ∞ ∞ ⎝ n ⎠ ⎛ 1 ⎞ 2 n （3 ） ； （4 ） sin ( ) ． x +x + 1 ∑ x ∑⎜ ⎟ n 1 n n 1 ⎝ 3n ⎠ ( )n n −1 ⎛2 −x ⎞ 解 （1）令 ( ) ，由于 u x n ⎜ ⎟ 3 2n + ⎝2 +x ⎠ 1 2 −x 2 −x lim n ( ) lim n u x ． n →∞ →∞ n n + + 3 2n 2 x 2 +x 2 −x 2 −x 2 +x x 0 当 1，即 ， 时，原级数绝对收敛； 2 +x 2 −x 当 1，即x 0 时，原级数发散； 2 +x ∞ ( )n 2 −x −1 当 1，即x 0 ，原级数化为∑ ，条件收敛； 2 +x 3 n 1 2n + 因此，本级数的收敛域为0[,+∞ )．