《矩阵论》课件09满秩分解谱分解(华中科大).pdf

第九讲 满秩分解, 可对角化矩阵的谱分解 [回顾]在线性代数中学到矩阵间的两种关系 ⎡I 0⎤ 等价标准形：当 rank(A)=r, A =P ⎢ r ⎥Q m n m m n n × × ⎢⎣0 0⎦⎥ × 相似标准形： An×n =PJ A P −1 一、矩阵的满秩分解 1. 定义：设 A ∈Fm×n (rankA =r 0) ，若存在矩阵B ∈Fm×r 及 C ∈Fr×n ，使得 A =BC ，则称其为A 的一个满秩分解。 说明：（1）B 为列满秩矩阵，即列数等于秩；C 为行满秩矩阵， 即行数等于秩。 （2 ）满秩分解不唯一。∀D ∈Fr×r （r 阶可逆方阵），则 A =BC =B(DD−1 )C =(BD)(D−1C) =B C ， 且 1 1 B1 ∈Fm×r , C1 ∈Fr×n 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩分解 证：采用构造性证明方法。设A ∈Fm×n , rank(A) =r ，则存在 m×m n×n 初等变换矩阵P ∈F , Q ∈F ， ⎛I 0⎞ ⎛I 0⎞ ⎜ r ⎟ −1 ⎜ r ⎟ −1 使 PAQ = ， 即A =P Q ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝0 0⎠⎟⎟ ⎜⎝0 0⎠⎟⎟ −1 −1 并把P 分块成P = B | B ， [ 1 ] r列 (m−r)列 ⎡ ⎤ 行 C r ⎢ ⎥ −1 ⎢ ⎥ Q = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ C1 (m −r)行 ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ C ⎡I 0⎤⎢ ⎥ ∴ = ⎢ r ⎥⎢ ⎥= A [B B1 ] .. BC 是满秩分解。 ⎢⎣0 0⎥⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ C