《第三章 三角恒等变换》章末质量评估2.doc

三角恒等变换综合测试卷2 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．cos2 75°＋cos2 15°＋cos 75°cos 15°的值为________． 解析　原式＝sin2 15°＋cos2 15°＋sin 15°·cos 15°＝1＋sin 30°＝. 2．sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为________． 解析　原式＝sin 45°·cos 15°－cos 45°·sin 15°＝sin(45°－15°)＝. 3．已知sin α＝，则cos(π－2α)＝________. 解析　cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－. 4．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为________． 解析　tan＝＝＝1. 5．已知f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________. 解析　f(cos x)＝2cos2 x－1f(sin 15°)＝2sin2 15－1＝－cos 30°＝－ 6．若tan α＝2，则的值是________． 解析　＝＝＝. 7．函数y＝sin x＋cos x，x的最大值为________． 解析　y＝sin x＋cos x＝2sinx∈∴x＋ ∴当x＋＝，即x＝时，ymax＝2. 8．若cos α＝－，α是第三象限角，则＝________. 解析　＝＝＝ α是第三象限角，sin α＝－，原式＝－. 9．已知sin α＝，且sin α－cos α＞1，则sin 2α＝________. 解析　sin α－cos α＞11－2sin α·cos α＞1sin α·cos α＜0sin α＝ cos α＝－sin 2α＝2××＝－ 10．ABC中，tan A＝－2，tan B＝，则C＝________. 解析　tan A＝－2，tan B＝tan(A＋B)＝＝－1 tan C＝－tan(A＋B)＝1而C(0，π)，C＝. 11．函数y＝的最大值与最小值分别为________． 解析　设t＝sin x＋cos x，则t＝sin(－≤t≤)，sin xcos x＝，所以y＝(t－1)(t≠－1)，所以ymin＝－，ymax＝. 12．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos－＝，则cos＝________. 解析　0＜α＜，＜α＋＜πcos＝sin＝， －＜β＜0－∴sin＝cos＝cos ＝cos·cos＋sin·sin＝×＋×＝. 13．已知f(α)＝，α，则f(α)取得最大值时α的值是________． 解析　f(α)＝＝＝＝＝sin 2α， 当2α＝，即α＝时，函数f(α)取得最大值． 14．已知f(x)＝sin－cos，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＋f(2 011)＝________. 解析　f(x)＝sin－cos＝2sin＝2sinx， f(x)的周期T＝＝8.又f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0， f(1)＋f(2)＋…＋f(2 010)＋f(2 011)＝251×0＋f(1)＋f(2)＋f(3) ＝2sin＋2sin＋2sin＝＋2＋＝2＋2. 二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(本小题满分14分)(1)化简，(0＜θ＜π)． (2)求值－sin 10°. 解　(1)原式＝＝＝因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，所以原式＝－cos θ. 2)原式＝－sin 10° ＝－sin 10°·＝－sin 10°· ＝－2cos 10°＝＝ ＝＝＝. 16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝cos－cos. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求g(x)＝f(－2－x)；当x[0,2]时，求函数y＝g(x)的最大值． 解　(1)f(x)＝cosxcos＋sinxsin－cos＝sinx－cosx＝sin. 故f(x)的最小正周期为T＝＝8. (2)由题设条件得g(x)＝f(－2－x)＝sin＝sin ＝－cos＝－cos. 当0≤x≤2时，≤x＋≤，设t＝x＋，则y＝－cos t，且t[0，π]时是增函数，因此y＝g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(x)max＝－cos＝. 17．(本小题满分14分)已知向量a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α，且ab. (1)求tan α的值；(2)求cos的值． 解　(1)a⊥b，a·b＝0.而a＝(3sin α，cos α)，b＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0. 由于cos α≠0，6tan2α＋5tan α－4＝0.解之，得tan α＝－，或tan α＝. α∈，tan α＜0，故t