【名师原创】2016高考数学大一轮教学复习讲义：专题三 三角函数与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形.pdf

专题三 三角函数与平面向量 第2 讲 三角变换与解三角形 总序7 考情解读 (1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结 合．(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综 合考查． 热点一 三角变换 π 4 3 π 2π 例1 (1) 已知sin(α＋ ) ＋sin α＝－ ，－ α0 ，则cos(α＋ ) ＝________. 3 5 2 3 π π 1＋sin β (2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，2) ，β∈(0， )，且tan α＝ ，则2α－β＝________. 2 cos β 2 思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋ π)进行比较． 3 (2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系． 4 π π 4 3 π 3 3 4 3 答案 (1) (2) 解析 (1) ∵sin(α＋) ＋sin α＝－ ，－ α0 ，∴ sin α＋ cos α＝－ ， 5 2 3 5 2 2 2 5 3 1 4 2π 2π 2π 1 3 4 ∴ sin α＋cos α＝－，∴cos(α＋ ) ＝cos αcos －sin αsin ＝－cos α－ sin α＝. 2 2 5 3 3 3 2 2 5 1 ＋sin β sin α 1 ＋sin β π (2) 由tan α＝ 得 ＝ ，即sin αcos β ＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β) ＝cos α＝sin( －α)． cos β cos α cos β 2 π π π π π π π π ∵α∈(0 ， ) ，β∈(0 ， ) ，∴α－β∈( － ， ) ， －α∈(0 ， ) ，∴由sin(α－β) ＝sin( －α) ，得α－β ＝ －α， 2 2 2 2 2 2 2 2 π ∴2α－β ＝. 2 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公 式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的 使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问 题要注意