一个有趣的严格递增数列.pdf

第 l5卷第 4期 高 等 数 学 研 究 V0l|15，No．4 2O12年 7月 STUD『IESIN C0LLEGE MATHEMATICS Ju1．，2012 一 个有趣的严格递增数列 张 国铭 (牡丹江师范学院 数学系，黑龙江 牡丹江 157011) 摘 要 应用著名的沃利斯(Wallis)公式以及若干个数列的严格单调性，可证 明数列 {毛}是严格单调 的，其 中 已是对积分 s z 应用积分 中值定理而产生的． 关键词 积分 中值定理 ；严格单调数列；沃利斯 (Wallis)公式 中图分类号 O172．2 文献标识码 A 文章编号 1008—1399(2012)04—0047—03 文[1]对积分jsiz应用积分中值定理，得到 将式(4)中的用+1替代，得 j』sizdz号sin(。已号)·(1)从而 sin卧。邑井2子(2 2)fI’ 因为 ] (-z)一 sin’z 在闭区间[o，号]上是严格单调增加的，故对每个 ， 满足式 (1)的 是唯一 的，这样 ，由式 (1)就生成了 s 龟一 ·( )．㈣ 将式(6)与式(5)相 比，得 数列{邑)文·[1]证明了数列{邑)的极限是号，即 ：鱼 一 sin。计 抖1 lim 一 ． ． ． f ± 。．f ± 11— 本文将讨论数列 {}的另一特性，得出以下结论． 2 2n+2 ＼ ()!! ／ ＼(2n+D”／ 结论 1 数列 {己)是严格递增的． 7t 一 由递推关系式口 2 1 (＼％()!!)／2n+2(＼(+1)!!)／．‘㈣ 根据沃利斯 (Wallis)公式E。] nnd ： n 2xd ( ≥ 2) J0 J0 可得 · ( )一号， n钿 === 以及数列 · (2) 0 、 、 √