一个数学问题的等价形式及应用.pdf

2016年第2期 中学数学教学 49 一 个数学问题的等价形式及应用 安徽省寿县第一中学 梁昌金 (邮编：232200) 《数学教学~2014年第8期数学问题921为： 问题 2 (《数 学教 在ZYtBC中，P为形内任意一点，射线AP、 学》2014年第 2期 问题 BP、CP分别交对边于D 、E、F，EF与AD相 910)如图 2所示，P是 △ABC内的一点，D 、E、 交于点 H．求证： · 一2． F分别是A 、B、C与P 这是与塞瓦 (Ceva)线相关的一个几何问题， 的连线 和对 边 的交点， 形式简洁优美．笔者尝试着从问题的等价转化、 AD 、BE、CF分别与EF 圈2 问题的证明、问题的应用几个方面进行思考． 、 DF、DE~：TH 、N 、M点，求证： + 1 问题 的等价形式 如图 1所示，DH · + ≥导． 一 证明 由三角形面积关 系，易得 PD — 2甘DH ·AP 一 2HA ·PD 铮 (DA — B D C S Bc PE — S~PAC PF — S AB ’面 一季 ’ 一 ’ 只A-) ·(DA — PD) ：== 2H_A ．PD ∞ DA ．(r)A 图l 所以PD+器+ 一 + + — PD — HA)===HA ·PD ~：VDA ·PH — HA · PAB 一 1 PD 器一 ． S “ 设 PD — 于是得到问题921的等价形式： ， 器一，一z，则z．-}-y．-}- 问题 1 点P是z~ABC 内部的任意一点，直 线AP 、BP、CP分别与BC、CA 、AB交于点 — l，由舄一z，得PD=zAD，则AD—PA D、E、F，而EF交AD于点H，则器一 ．—zAD，所以PA一 (1一x)AD． 2 问题的证明 由问题l知P丽H一器一，得PH— 原作者通过添加辅助线加以证明，并多次用 xAH ，则 PA—AH — xAH，所 以PA 一 (z+ 到塞瓦定理和梅涅劳斯定理，最后还进行 了分 1)AH ． 类，显得较为复杂，通过上述等价形式，可知欲证 所以 (1--x)AD一 (计 1)AH，所 以AH 一 明问题921，只需证明PD一器． -- y 1-- Z