一元二次方方程根的分布.doc

一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。 函数与方程思想：若=与轴有交点()=0 若=()与=()有交点(，)=有解。 下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程（）的两个实根为，，且。 【定理1】，(两个正根)， 推论：，或 上述推论结合二次函数图象不难得到。 若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。 分析：依题意有01。 【定理2】，， 推论：，或 由二次函数图象易知它的正确性。 若一元二次方程的两根都是负数，求的取值范围。（或k3） 【定理3】 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？ 分析：依题意有0=03 【定理4】 ，且； ，且。 若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？ 分析：由已知－3=0，∴=3，代入原方程得3+5=0，另一根为负。 二．一元二次方程的非零分布——分布 设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。 【定理1】 【定理2】。 【定理3】。 推论1 。 推论2 。 【定理4】有且仅有（或） 【定理5】或 此定理可直接由定理4推出，请读者自证。 【定理6】或 三、例题与练习 已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。（） （2）若一元二次方程的两个实根都大于-1，求的取值范围。 （） （3）若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。 （） 已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。 （） （2）已知方程有一实根在0和1之间，求的取值范围。 （） （3）已知方程的较大实根在0和1之间，求实数的取值范围。 变式：改为较小实根 （不可能；） （4）若方程的两实根均在区间（、1）内，求的取值范围。 （） （5）若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。 （） （6）已知关于的方程的两根为且满足，求的取值范围。 （或） 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制. 解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 ∴. (2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 (这里0－m1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过) 若方程有两个不相同的实根，求的取值范围。 提示：令=转化为关于的一元二次方程有两个不同的正实根。答案：01 若关于的方程有唯一的实根，求实数的取值范围。 提示：原方程等价于即 令=+12+6+3 若抛物线=与轴相切，有△=144－4(6+3)=0即=。 将=代入式②有=－≠。 若抛物线=与轴相交，注意到其对称轴为=－6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是 解得。 ∴当时原方程有唯一解。 另法：原方程等价于+20=8－6－3(－20或0)……③ 问题转化为：求实数的取值范围，使直线=8－－=+20 (－0)有且只有一个公共点。 虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将③变形为+12+3=－(－0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线=+12+3和直线=－，如图，显然当3－≤163即时直线=－6与抛物线有且 3.二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 A、 B、 C 、 D、 答案:C 4．已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：； （2）如果，，求的取值范围. 解析：设，则的二根为和。 （1）由及，可得 ，即， 即 两式相加得，所以，； （2）由, 可得 。 又，所以同号 ∴ ，等价于 或, 即 或 解之得 或。 点评