一类完全非线性椭圆型方程组解的对称性.pdf

数学物理学报 http：：／／actams．wipm．ac．cn 一 类完全非线性椭圆型方程组解的对称性 赵金虎 刘 白羽 徐尔 (北京科技大学数理学院 北京 100083) 摘要：通过结合移动平面法及其角点区域的Hopf引理得到了有界区域上一类完全非线性椭圆 型方程组解的对称性和单调性． 关键词：移动平面法；完全非线性方程组；对称性． MR(2010)主题分类：35B50 中图分类号：0123．4 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2015)02—312—12 1 引言 20世纪 50年代，Alexandrov创立了移动平面法并用其研究了常平均曲率曲面嵌入 问 题的唯一性 [1]．其后，经过Serrin[，Gidas，Ni和Nirenberg3[]，Caffarelli，Gidas和 Spruck[41， IJif引，Chen和 Li[。一 ，Damascelli，Pacella和Ramaswamy[s]等学者的进一步发展和完善，移 动平面法已成为研究非线性椭圆方程解的对称性，单调性，非存在性以及先验估计的有力工 具． Monge—Ampere方程是典型的完全非线性方程，利用移动平面方法 Delanoe9[]证 明了 单位球上的一类 Monge—Ampere方程凸解的径向对称性．对于一般的完全非线性椭圆方程 Dirichlet边值问题 2，F(，，u11，…，钆NN)=0，ES=(一，)×， f1 【钆=0 ． 1) EOS， ， 其中 Q是 Ⅳ 中的单位球． Li[10]证明了：若 ∈C0，a()是问题 (1．1)的正解，且 (i) F在 Xl和 {pi2，… ，PlN}方向上是对称的； (ii)F在 1方向上的左半区域是递增的，即 (Xl，Y，，A／ll，… ，“ⅣⅣ) 0，一1Xl0．那么 在 1方向上是对称的，并且只有一个 极大值．其后， Li【“]将该结果推广到无界区域上． 对于半线性椭圆方程组，前人也做了大量的工作，如文献 1『217]．其中，Busca和 Sirakov[J研究了半线性椭圆方程组 (1．2) 收稿 日期：2013—09—13；修订 日期：2014—06—22 E—mail：zhaojin_hu~126．tom；liubymath~gmail．tom 基金项目：国家自然科学基金 和中央高校基本科研业务费专项资金 (FRF—TP一14—069A2)资助 No．2 赵金虎等：一类完全非线性椭圆型方程组解的对称性 313 具有衰减性质正解的对称性．假设 (，)是方程组 (1．2)的正解，当 一 。。时，u(x)一0． v(x)一0．若f，g满足 (i)f，g∈C ([0，。。)×[0，。。)，)，(u，u)E[0，。。)×[0，。o)； (ii) (钆，u) 0，籍(，“，u) 0； (iii)甏(0，0)0，筹(0，0)0； f8 8{＼ (iv)detA0，A (G盟QV)0(_0)_ Ⅳ∑ Ⅳ∑ 0 那么存在两点X0，Xl∈ Ⅳ，使得札()=札(