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一类非线性Schodinger方程的Jacobi椭圆函数周期解
第37卷 第4期 应 用 数 学 学 报 Vo1.37No.4
2014年 7月 ACTA MATHEMATICAEAPPLICATAESINICA July,2014
一 类非线性SchSdinger方程的
Jacobi椭圆函数周期解
陈 娟
(常熟理工学院数学与统计学院,常熟215500)
(E—mail:cjwan061414@163.com)
摘 要 利用 Janobi椭圆函数展开法,求出了一类具有波动算子的非线性 SchSdinger方程的
周期解,并在极限情形下,可以获得此方程相应的孤波解以及其它形式的新解.
关键词 具波动算子的非线性 Sch6dinger方程;Jacobi椭圆函数;周期解
MR(2000)主题分类 35C99;35Q55
中图分类 O241.8
1 引言
SchSdinger方程是量子力学中的一个基本方程,它在非线性光学、等离子体物理、
凝聚态物理、流体力学等领域应用广泛.MatsunchiK在研究单色波的非线性相互作用
时,提出了一类具波动算子的非线性SchSdinger方程 1【】1而人们在推导等离子物理孤立
子问题中的高频电子横向速度所满足的方程时,也得到了同一类型的方程.近年来一些
学者对此类方程进行了深入研究,如 [2]利用Galerkin方法证明了这类方程 (多维情形)
的初值、边值问题整体解的存在唯一性, 3『]借助一个规范变换和组合的假设方法得到
了方程的显示精确行波解,f4-61采用谱方法和差分方法研究了方程的数值解.
本文考虑如下具有波动算子的非线性SchSdinger方程:
乱tt—Uz+iaut+ 112钆=0, (,亡)∈R ×, (1.1)
其中 “(,t)是复值函数, ,是常数,i=一1.本文利用Jacobi椭圆函数展开法 [7-9]
求出其周期解,在极限情况下,这些解可以退化为对应的孤立波解 以及其它形式的新
解.
本文 2013年 9月 6日收到.
国家 自然科学基金 资助项 目
4期 陈娟:一类非线性 SchSdinger方程的 Jacobi椭圆函数周期解 657
2 方程的求解
设方程 (1.1)有如下形式的解:
(,t)= ()ei(一 ¨, ∈zpx一 , f2.1)
其中 (∈)为待定实值函数, , ,P, 是常数.
将 (2.1)代入 (1.1)得:
~(r2_p2)髻刊2(02--0~) ]+k(2--w2+aw)+-0. 2(_2)
令 (2w— )~2p =0,即 (2w~a)=2p,贝0由 (2.2)可得:
0(2|)碧+k(2-w2-~-OLU2)+_0_ (2.3)
下面将利用不同的Jacobi椭圆函数展开法求解方程 (1.1)的周期解.
2.1Jacobi椭圆正弦函数展开法
设方程 (2.3)的形式解为:
竹
西(f)=∑aJs∈, (2.4)
j=0
其中sn∈为 Jacobi椭圆正弦函数.通过平衡 (2.3)中最高阶导数项和最高次非线性项
[一。]可得 n=1,因此可设方程 (2.3)的解为:
()=a0+alsn~. f2.5)
因为
an : 1一 sn , dn。 : 1一m sn ,
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