一类非线性Schodinger方程的Jacobi椭圆函数周期解.pdf

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一类非线性Schodinger方程的Jacobi椭圆函数周期解

第37卷 第4期 应 用 数 学 学 报 Vo1.37No.4 2014年 7月 ACTA MATHEMATICAEAPPLICATAESINICA July,2014 一 类非线性SchSdinger方程的 Jacobi椭圆函数周期解 陈 娟 (常熟理工学院数学与统计学院,常熟215500) (E—mail:cjwan061414@163.com) 摘 要 利用 Janobi椭圆函数展开法,求出了一类具有波动算子的非线性 SchSdinger方程的 周期解,并在极限情形下,可以获得此方程相应的孤波解以及其它形式的新解. 关键词 具波动算子的非线性 Sch6dinger方程;Jacobi椭圆函数;周期解 MR(2000)主题分类 35C99;35Q55 中图分类 O241.8 1 引言 SchSdinger方程是量子力学中的一个基本方程,它在非线性光学、等离子体物理、 凝聚态物理、流体力学等领域应用广泛.MatsunchiK在研究单色波的非线性相互作用 时,提出了一类具波动算子的非线性SchSdinger方程 1【】1而人们在推导等离子物理孤立 子问题中的高频电子横向速度所满足的方程时,也得到了同一类型的方程.近年来一些 学者对此类方程进行了深入研究,如 [2]利用Galerkin方法证明了这类方程 (多维情形) 的初值、边值问题整体解的存在唯一性, 3『]借助一个规范变换和组合的假设方法得到 了方程的显示精确行波解,f4-61采用谱方法和差分方法研究了方程的数值解. 本文考虑如下具有波动算子的非线性SchSdinger方程: 乱tt—Uz+iaut+ 112钆=0, (,亡)∈R ×, (1.1) 其中 “(,t)是复值函数, ,是常数,i=一1.本文利用Jacobi椭圆函数展开法 [7-9] 求出其周期解,在极限情况下,这些解可以退化为对应的孤立波解 以及其它形式的新 解. 本文 2013年 9月 6日收到. 国家 自然科学基金 资助项 目 4期 陈娟:一类非线性 SchSdinger方程的 Jacobi椭圆函数周期解 657 2 方程的求解 设方程 (1.1)有如下形式的解: (,t)= ()ei(一 ¨, ∈zpx一 , f2.1) 其中 (∈)为待定实值函数, , ,P, 是常数. 将 (2.1)代入 (1.1)得: ~(r2_p2)髻刊2(02--0~) ]+k(2--w2+aw)+-0. 2(_2) 令 (2w— )~2p =0,即 (2w~a)=2p,贝0由 (2.2)可得: 0(2|)碧+k(2-w2-~-OLU2)+_0_ (2.3) 下面将利用不同的Jacobi椭圆函数展开法求解方程 (1.1)的周期解. 2.1Jacobi椭圆正弦函数展开法 设方程 (2.3)的形式解为: 竹 西(f)=∑aJs∈, (2.4) j=0 其中sn∈为 Jacobi椭圆正弦函数.通过平衡 (2.3)中最高阶导数项和最高次非线性项 [一。]可得 n=1,因此可设方程 (2.3)的解为: ()=a0+alsn~. f2.5) 因为 an : 1一 sn , dn。 : 1一m sn ,

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