一道三角形周长最值的拓展与研究.pdf

3-30 数学教学 2016年第3期 一 道三角形周长最值的拓展与研究 314200 浙江省平湖中学 毛 良忠 数与形这两个基本概念，是数学的两块基 石．数和形在 内容上互相联系，在方法上互相 渗透，在一定条件下又可以互相转化、补充、 互助．在解题中，如果重视数与形的结合，注重 图形性质问题借助数量关系的推演和具体量 化，或者将数量关系的问题借助几何背景的直 0 观形象化，将抽象的数学符号语言与直观的图 、 、l 、 形语言结合起来，往往能快速解决问题．本文 ， 从一个大家熟知的角内一点的反射 问题出发进 图2 行延伸拓展，希望在数形的演绎中体会问题解 故CAAB】C】：AB1+B1 + Cl=A1B1 决的途径，感受 数“形结合百般好，隔离分家万 +B1C1+A2C1≥A1A2=AB +BC+ C = 事休”的解题意境． CAABC，所以AABC就是所求周长最小的三 重温经典：如 图1设点A是 ／MON 内 角形． 若点 为角内确定的点，如何计算这个三 的一个定点，试在OM、0N上确定点 、 ， 角形的周长呢? 使 △AB 的周长最小． 如果说刚才 的作 图过程给 了周长最小 分析：这是一个非常经典的反射问题，我 值 形“”的结论，那么具体数值 的得 出，我们可 们可以直接利用初中学习的点关于线对称的知 以借助这个 “形”进行合理的 数“算”． 识解决．如图1，过点A分别作 (=)M 、(=)Ⅳ的对 若设 M (=)N=0，A0N=Ol，IOAI=m， 称 点 1、A2，连 结A1A2交OM、ON于 点 由对称性知 ／AIOA2=20，且IOAI=IOA1I= B、C，则△AB 就是所求周长最小的三角 IOA2l=m．过点(=)作 (=)日上 1A2(如图3)，易 形． 得 ／HOA2=0，所以lHA2I=lOA2lsin0= msin0，于是△AB 的周长为2msin0． 利用这个结论我们可 以快速解决下面的 反射 问题： 0