一道极限题的四种证法.pdf

第 17卷第 5期 高 等 数 学 研 究 Voi．17，No．5 2O14年 9月 STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICS Sep．，2O14 doi：10．3969／j．issn．1008—1399．2014．05．001 一 道极限题的四种证法 刘兰冬 ，宋彦琦 (中国矿业大学(北京)理学院，北京 100083) 摘 要 分别利用泰勒公式、不动点理论结合牛顿迭代法 ，给出一道关于极限问题的四种证明方法． 关键词 牛顿迭代法；2阶收敛 ；泰勒公式；洛必达法则；不动点迭代 中图分类号 O171．1 文献标识码 A 文章编号 1008—1399(2014)05—0001—03 FourProofsofaLimitExercise LIU Landong， SONG Yanqi (SchoolofScience，ChinaUniversityofMining Technology，Beijing100083，PRC) Abstract： ByusingTaylorformula，fixedpointtheory，andNewtoniterativemethod，thispaperpresentsfour proofsofalimitproblem． Keywords： Newtoniterativemethod，2orderconvergence，Taylorformula，L’HospitalRule，Fixed point iteration 设 z 为非线性方程 ，()一0的单根 ，则 式(2)、式 (3)和式 (4)，可知序列 {z)单调有界．当 f(x )一 0， f (z )≠ 0． 厂(z ) 0时，序列 {．z)单调递减收敛到 z． ；当 求 厂()一 0单根的牛顿迭代法为 2f ( ) f 一 z 一 (愚一 O，l，2，…)． (1) 0时，序列 {X)单调递增收敛到 z ． 2厂(z ) 牛顿迭代法在单根 z． 附近是平方收敛的Ⅲ ，即成立 以下利用牛顿迭代法结合泰勒公式、洛必达法 则和不动点理论 ，分别给出例 1的四种证法． lira X——k—+—l—--—-X_= 一 0， (2) 一 o。 一 Z 证法 1E。 注意到牛顿迭代公 式 (1)，以及 lim 一 ． ㈤ f(x )一 0，有 … 一 兰= 例 1Ⅲ 对于 ，(z．)一0的牛顿公式 R 一 一 — 一 ～ 一 ，