三角恒等变换考点解读.doc

基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝； (6)T(α－β)：tan(α－β)＝. 2．倍角公式 (1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)T2α：tan 2α＝. 3．半角公式 C：cos ＝ ± 　S：sin ＝ ± T：tan ＝ ± 4．和差化积与积化和差公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 5．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)； (2)cos2α＝，sin2α＝； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 6．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． 两个技巧 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化 (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 双基自测 1．(人教B版教材习题改编)下列各式的值为的是(　　)． A．2cos2 －1 B．1－2sin275° C. D．sin 15°cos 15° 解析　2cos2－1＝cos＝；1－2sin275°＝cos 150°＝－；＝tan 45°＝1；sin 15°cos 15°＝sin 30°＝. 答案　D 2．(2011·福建)若tan α＝3，则的值等于(　　)． A．2 B．3 C．4 D．6 解析　＝＝2tan a＝2×3＝6，故选D. 答案　D 3．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－. 答案　B 4．(2011·辽宁)设sin＝，则sin 2θ＝(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　sin 2θ＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－. 答案　A 5．tan 20°＋tan 40°＋tan 20° tan 40°＝________. 解析　tan 60°＝tan(20°＋40°)＝， tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°·tan 40°，原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 答案　　 　考向一　三角函数式的化简 【例1】化简. [审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式． 解　原式＝ ＝＝＝cos 2x. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则： (1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：. 解　原式＝ ＝ ＝＝＝tan. 考向二　三角函数式的求值 【例2】已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，