不等式中最优参数的寻求与判断.pdf

2 中 等 数 学 不 等 式 中 最 优 参 数 的 寻 求 与 判 断 黄 志 军 (南京外国语学校，222008) 中图分类号 ：0122．3 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2016)07-OO02一o6 (本讲适合高中) 不妨设 蛇≥y≥z．则 在近几年国内外数学竞赛试题有关一类 ≤ ≤而 ． 不等式中参数的最优性 (最大或最小)问题， 由切比雪夫不等式得 因寻求与判断最优参数方法灵活多样，论证 比较困难而备受命题者青睐．本文就这类问 ∑ ≤(∑)(∑ ) 题的解决方法作一探索． ≤ 1(∑)丽 1 合理使用特殊化方法 立足题设信息，先取特殊值获得不等式 = √(∑厂 中参数的最优性，再进行证明．这种利用特殊 综上，式①成立． 值 “先猜后证”的方法是解决这类问题的常 用方法． 故一=√孝· 例 1 求最大的常数 ，使得对于 、 名 例2 设正整数 ≥2．求常数C()的最 ∈R+，有 大值，使得对于所有满足 ∈(0，1)(i=1，2， ∑ ≥ ， … ， )，且 √Y+ (1一 )(1一 )≥ (1≤ _≤『n) 其中，“∑”表示轮换对称和． 的实数 1，2，…， ，均有 【分析】由对称性，令 =y-Z=1，得 ∑ ≥c()∑ (2x吩+ )．① √亏· i=1 l《 《n 【分析】由题设不等式等号成立可令 下醯明：∑焘+z、詈‘‘．① 毪=÷(i=1，2，…，，I)． 由柯西不等式得 代入式①得 (∑ )(∑焘 ∑) 号≥c()c(1+1)c(n)≤_l． 下面证明：C()= _l满足条件． 甘∑焘 ≥ ． ，薯一 l 由1一 +1一xj~2√(1一)(1一)I1 收稿 日期：2016—05—30 +xj~1． 2016年第 7期 3 取和 均存在一个排列Yl，Y2，…，Y，满足 (tt一 ∑ I≤c() ∑ ≤导． F(y1，Y2，…，y)≥ 一1． 得 I=1 =1 二 事实上，取排列Y1，Y2，…，Y，满足 故 1 ( +