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与过锐角内定点的直线有关的极值问题
维普资讯
《数学教学通讯)2004年6月(上半月)(总第 199期) 重庆 ·4l·
与过锐角内定点的直线有关的极值问题
(河南周口师院西校区数学系 466001) 陈劲松
(河南省周 口市川汇区教体局教研室 466001) 李世臣
我们经常遇到有关与过锐角内定点的动 线与角的两边D 、OY相交于 、B,则当OA一
直线有关的极值问题,本文将这些问题归纳如 08时,P ·PB的值最小.
下,并给出相应极值的几何解释. 证明:如图3,作 XOY的平分线OZ,过
如图1,P是锐角 XOY内一这点,经过 点P作OZ的垂线交0X、OY于C、D两点,易知
点P的直线分别和角的两边OX、OY相交于 、 OC—OD.过点D作OY的垂线交oz于点o,,
B两点,则当直线满足什么条件时, 则以0为圆心,0D为半径画圆,易知 o0 切
(1)OA ·OB的值最小; XOY的两边于C、D,并设直线AB与Oo,交
(2)AP ·PB的值最小; 于 M、N.
(3)OA+OB+AB的值最小; 由相交弦定理得 ·PⅣ一CP ·PD,而
1 1 AP≥MP,PB≥PN.既\AP ·PB≥MP ·
(4)寿+南的值最小;
PN=CP ·PD一定值.
(5)OA+OB的值最小;
所以当OA—OB,即直线AB处在直线CD
(6)AB的值最小.
位置时,P ·尸B的值最小.
命题 1 经过 XOY内一定点P的动直
命题3 经过 XOY内一定点P的动直
线与角的两边OX、OY相交于 、8两点,则当
线与角的两边D 、0y相交于 、B,oo,经过
AP—PB时,OA ·OB的值最小.
点P且与 0y相切,并使点P在被切点分割
的劣弧上,则当直线AB与o0 相切时,0 +
AB+B0的值最小.
Y Y
图 1 图2
Y Y
1
分析:因为÷OA ·OB·sin 0一s△A0,而
0为定值,故只需 △一o最小. 图3 图4
证明:如图2,若AP≠P8,不妨设AP 证明:如图4,过点P作 oo,的切线,交
PB,在PB上取点E使 尸一PE,作ED//OX XOY的两边OX、OY于C、D两点.作直线
与OY相交于点D,作直线D尸交边OX于点C. MN //AB,并且使其切o0于劣弧上的点Q,
易见 AAPC AEPD,而S△0一 △c0D 设M、Ⅳ为该切线与 0y两边的交点.
+ △ ,所以AAOB的面积在动直线AB处 因为AAOB的周长大于△朋0.N的周长,
在CD状态时最小.所以当AP—PB时,OA · 而AMON的周长等于ACOD的局长=定值
DB的值最小. 一 从0向oo,所引切线长的2倍.
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